Escribir matrices reales invertibles como exponente de matrices reales

Question

Toda matriz cuadrada invertible con entradas complejas puede escribirse como la exponencial de una matriz compleja. Quiero preguntar si es cierto que

Toda matriz real invertible con determinante positivo puede escribirse como la exponencial de una matriz real. (Necesitamos la condición de determinante +ve porque si $A=e^X$ entonces $\det A=e^{\operatorname{tr}(X)} > 0$ .) Si no es así, ¿existe una caracterización sencilla de tales matrices reales (con determinante +ve) que sean exponenciales de otras matrices?

Answer 1

No, una matriz real tiene un logaritmo real si y sólo si es no singular y en su forma normal de Jordan (compleja), cada bloque de Jordan correspondiente a un valor propio negativo aparece un número par de veces. Por tanto, es posible que una matriz con determinante positivo no sea la matriz exponencial de una matriz real. He aquí dos contraejemplos: $\pmatrix{-1&1\\ 0&-1}$ y $\operatorname{diag}(-2,-\frac12,1,\ldots,1)$ . Para más detalles, consulte

Walter J. Culver, Sobre la existencia y unicidad del logaritmo real de una matriz Actas de la Sociedad Matemática Americana, 17(5): 1146-1151, 1966.

Answer 2

Otra caracterización es la siguiente: $A$ es la exponencial de una matriz real si $A$ es el cuadrado de una matriz real invertible. En particular, observemos que si $A=e^X$ entonces $A=(e^{X/2})^2$ .

Con respecto al puesto de Lee, si $A$ está en una vecindad de $I$ entonces $A=I+B$ con $||B||<1$ y podemos tomar $X=B-B^2/2+B^3/3+\cdots$ .

EDIT: Un esbozo de la prueba. Sea $A=B^2$ donde $B$ es real invertible; podemos suponer que $B$ está en forma de Jordania. Para cada bloque de Jordan $B_k=\lambda I_k+J_k$ de $B$ s.t. $\lambda<0$ , cambio $B_k$ con $-B_k$ . Finalmente se obtiene una matriz $C$ s.t. $C^2=A$ . No es difícil demostrar que dicha matriz $C$ que no tiene $<0$ valores propios es la exp de una matriz real.