Cálculo de la inversa de una matriz.

Question

$A)$

Resuelve:

$x_1-x_2=1$

$-x_1+2x_2-x_3=0$

$\vdots$

$-x_{99}+2x_{100}=0$

$B$ )Deduce la inversa de

A= \begin {pmatrix} 1 & -1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ -1 & 2 & -1 & \ddots & \cdots & \vdots\\ 0 & -1 & 2 &-1& \ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots &0 \\ \vdots & \cdots & \ddots & \ddots &2&-1 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 &-1&2 \\ \end {pmatrix}

He resuelto la primera parte y he conseguido:

$x_1=100$

$x_2=99$

$\vdots$

$x_{100}=1$ (Corríjanme si me equivoco)

Para la parte B , no estoy seguro de cómo enfocarla aunque estoy bastante seguro de que la primera columna de $A^{-1}$ debe contener $x_1$ hasta $x_{100}$ en este orden, sin embargo no tengo idea de cómo llenar las otras columnas.

Si alguien pudiera ayudarme o darme pistas, se lo agradecería.

Gracias de antemano.

Answer 1

Date cuenta de que lo que has calculado es una solución a $Ax=e_1$ . Si tiene curiosidad por una solución para $e_2$ poner la primera ecuación a 0, es decir $x_1-x_2=0$ y la segunda a 1, dando lugar al mismo sistema de ecuación con una variable menos (porque $x_1=x_2$ ). Luego se avanza de forma similar y cuando se resuelve (conceptualmente) todo, se tienen las soluciones $A\mathbf{x}_i=e_i$ .

Answer 2

Estoy de acuerdo con usted y sus cálculos de $\{x_1,\cdots, x_{100}\}$

Y la primera columna de $A^{-1}$ es $\begin{bmatrix} x_1\\ \vdots\\x_{100} \end{bmatrix}$

En la segunda columna, cada fila (excepto la primera) se multiplicará por $\begin{bmatrix} 1\\-1\\0 \\\vdots\\0 \end{bmatrix}$ y que se traduce en $0.$

La segunda columna es, $\begin{bmatrix} x_1-1\\x_2\\x_3\\ \vdots\\x_{100} \end{bmatrix}$

Y de extenderme a lo largo me sale:

$\begin{bmatrix} 100&99&98 &\cdots& 1\\ 99&99&98 &\cdots& 1\\ 98&98&98&\cdots&1\\ \vdots&&\ddots&&\vdots\\ 1&&\cdots&&1\end{bmatrix}$

Answer 3

Este es un método de "fuerza bruta".

Observando algunos ejemplos de pequeñas dimensiones, queda claro cómo construir la inversa. Es bueno notar que $A$ es simétrica, por lo que su inversa también lo es.

Dejemos que $$ B=\begin{bmatrix} 100&99&98&97&\cdots&2&1\\ 99&99&98&97&\cdots&2&1\\ 98&98&98&97&\cdots&2&1\\ 97&97&97&97&\cdots&2&1\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\ 1&1&1&1&\cdots&1 \end{bmatrix} $$ Ahora, cuando hacemos $BA$ Tenemos que ver los tres tipos de columnas $A$ tiene:

• contra el primer colunm: $$ \begin{bmatrix} 100&99\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}=1, $$ y $$ \begin{bmatrix} m&m\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}=0, $$ así que $(BA)_{k1}=\delta_{k1}$ .

• contra columnas $2$ a $99$ : el $j^{\rm th}$ columna de $A$ tiene $-1,2,-1$ a partir de la fila $j-1$ . El $k^{\rm th}$ fila de $B$ tiene $101-k$ en la primera $k$ columnas, y luego comienza a disminuir una por una. Así, para $j> k$ , $$ (BA)_{kj}=\begin{bmatrix}101-k&101-k-1&101-k-2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1\\2\\-1\end{bmatrix}=0. $$ Para $j<k$ la entrada es la misma por simetría. Para $j=k$ , $$ (BA)_{kk}=\begin{bmatrix} 101-k&101-k&101-k-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1\\2\\-1\end{bmatrix} =1 $$ Así que $(BA)_{kj}=\delta_{kj}$ .

• Contra la columna $100$ : cuando $k<100$ , $j=100$ , $$ (BA)_{kj}=\begin{bmatrix} 2&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} -1\\2\end{bmatrix}=0. $$ Y $$ (BA)_{100,100}=\begin{bmatrix} 1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} -1\\2\end{bmatrix}=1. $$ Así que $(BA)_{k,100}=\delta_{k,100}$ .

En resumen, $BA=I$ .

Answer 4

$\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\ -1 & 2 & -1\\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix} 3 & 2 & 1\\ 2 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0\\ -1 & 2 & -1 & 0\\ 0 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix} 4 & 3 & 2 & 1\\ 3 & 3 & 2 & 1\\ 2 & 2 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

¿Puedes adivinar la inversa de $A$ ?