Demostración de una identidad vectorial - (A × B)

Question

Este es mi primer post aquí :)

Bonito foro por lo que se ve.

De todas formas mi profesor me enseñó esto voy a adjuntar el enlace aquí:

Es la página 2 de este enlace: http://www2.ph.ed.ac.uk/~mevans/mp2h/VTF/conferencia15.pdf

En el 15.3. el pdf discute: Productos de dos campos vectoriales:

Cuando el artículo habla de la prueba de (6), ¿es esa la prueba completa de la demostración de la identidad?

Esencialmente es esto:

Me gustaría probar: $$\nabla \cdot (A \times B) = B \cdot (\nabla \times A) A \cdot (\nabla \times B)$$

Y el pdf muestra esto: \begin{eqnarray*} \nabla \cdot (A \times B) &=& \\ &=& \frac{\partial}{\partial x_i} e_{ijk} A_j B_k \\ &=& e_{ijk}\frac{\partial A_j}{\partial x_i}B_k + e_{ijk} A_j \frac{\partial B_k}{\partial x_i} \\ &=& B_k e_{kij} \frac{\partial A_j}{\partial x_i} - A_j e_{jik}\frac{\partial B_k}{\partial x_i} \end{eqnarray*}

(Es mucho más fácil en el pdf)

Sólo parece que la prueba inacabada y no muestra cómo se vuelve a la forma de: $$B \cdot (\nabla \times A) A \cdot (\nabla \times B)$$

Además, si alguien sabe si las letras A y B se pueden intercambiar por cualquier letra, por ejemplo, C y D?

Gracias si alguien lee esto y puede ayudar.

-nomad609

Answer 1

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[8px,border:1px groove navy]{{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ \begin{align} \nabla\cdot\pars{\vec{A}\times\vec{B}} & = \sum_{i}\partiald{\pars{\vec{A}\times\vec{B}}_{i}}{x_{i}} = \sum_{i}\partiald{}{x_{i}}\sum_{jk}\epsilon_{ijk}A_{j}B_{k} = \sum_{ijk}\epsilon_{ijk}\,\partiald{A_{j}}{x_{i}}\,B_{k} + \sum_{ijk}\epsilon_{ijk}\, A_{j}\,\partiald{B_{k}}{x_{i}} \\[5mm] & = \sum_{k}\pars{\sum_{ij}\epsilon_{kij}\,\partiald{}{x_{i}}\,A_{j}}B_{k} - \sum_{j}\pars{\sum_{ik}\epsilon_{jik}\,\partiald{}{x_{i}}\,B_{k}}A_{j} \\[5mm] & = \sum_{k}\pars{\nabla\times\vec{A}}_{k}B_{k} - \sum_{j}\pars{\nabla\times\vec{B}}_{j}A_{j} = \bbx{\vec{B}\cdot\nabla\times\vec{A} - \vec{A}\cdot\nabla\times\vec{B}} \end{align}

Answer 2

Pensé que podría ser útil comentar que el símbolo de Levi-Civita, $\epsilon_{ijk}$ puede escribirse alternativamente como

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\epsilon_{ijk}=\hat x_i\cdot (\hat x_j\times\hat x_k) }\tag 1$$

en términos de los vectores unitarios cartesianos $\hat x_i$ , $i=1,2,3$ .

Entonces, utilizando $(1)$ podemos escribir

$$\begin{align} \epsilon_{ijk}\left(B_k\frac{\partial A_j}{\partial x_j}\right)&=\hat x_i\cdot (\hat x_j\times\hat x_k)\left(B_k\frac{\partial A_j}{\partial x_i}\right)\\\\ &=\hat x_k\cdot (\hat x_i\times\hat x_j)\left(B_k\frac{\partial A_j}{\partial x_i}\right)\\\\ &=(\hat x_kB_k)\cdot \left(\hat x_i\frac{\partial }{\partial x_x}\right)\times (\hat x_jA_j)\\\\ &=\vec B\cdot \nabla \times \vec A \end{align}$$

Evidentemente, este desarrollo difiere del que utiliza el símbolo de Levi-Civita sólo por la notación. Sin embargo, asigna a $\epsilon_{ijk}$ un significado como el triple producto escalar. Y al hacerlo, este enfoque ofrece más transparencia sobre la interacción entre los índices de $\epsilon_{ijk}$ como vectores unitarios y las componentes cartesianas asociadas del operador "Del", $\nabla$ y los vectores $\vec A$ y $\vec B$ en la que opera.