Deje $m,n \in \mathbb{Z}$ ser de dos dos cero números. Necesito encontrar condiciones necesarias y suficientes en $m$ $n$ para que el par $\{m,n\}$ genera el aditivo grupo $\mathbb{Z}$.
Hice un intento en una prueba, y quisiera saber si: 1) Es correcta, y 2) si hay algo que yo pueda hacer para que sea mejor.
Primero de todo, me afirmó que una condición necesaria y suficiente sería para $\mathbf{\gcd(m,n)=1}$.
Ahora, aquí está mi prueba:
$(\implies)$ Supongamos que $\gcd(m,n)=1$. Luego, por la Identidad de Bezout, $\exists$ enteros $p,q$ tal que $mp+nq = \gcd(m,n)=1$.
Deje $k$ ser un elemento arbitrario de $\mathbb{Z}$. Entonces, podemos producir $k$ al multiplicar ambos lados de $mp+nq = 1$ por $k$ rendimiento $m(pk)+n(qk)=k$.
La definición de $x=pk \in \mathbb{Z}$$y = qk \in \mathbb{Z}$, vemos que $\forall k \in \mathbb{Z}$, $\exists x, y \in \mathbb{Z}$ tal que $mx+ny=k$.
Por eso, $<m,n>=\mathbb{Z}$.
$(\Longleftarrow)$ Supongamos $<m,n>=\mathbb{Z}$. Entonces, $\forall k \in \mathbb{Z}$, $\exists x,y \in \mathbb{Z}$ tal que $k=mx+ny$.
Por lo tanto, debemos tener $\gcd(m,n)|k$.
(La parte realmente no estoy seguro acerca de) sin Embargo, $k$ es un entero arbitrario, y sólo a ti entero que es divisor de cualquier número entero es $1$.
Por lo tanto, $\gcd(m,n)=1$.
Gracias!
