Esta es mi pregunta...
Si $L/K$ es una extensión algebraica y $\alpha,\beta \in L$ son $K$ -(es decir, que tienen el mismo polinomio mínimo), ¿es siempre cierto que existe algún $\sigma \in $ Aut $(L/K)$ tal que $\sigma(\alpha)=\beta$ ?
Llevo un rato pensando en esto y no se me ocurre ni una prueba ni un contraejemplo :( Por supuesto, esto falla si se elimina la condición de algebraicidad: considere $\mathbb{R}/\mathbb{Q}.$
Agradeceremos cualquier sugerencia.
Considere la ecuación $(x^2+x-i)(x^2+x+i)=0$ en $K=\mathbb{Q}$ . Ahora toma $L=\mathbb{Q}(i, \sqrt{1+4i})$ . Es decir, he sumado las raíces de uno de los factores pero no del otro. (Por supuesto, hay que comprobar que $\sqrt{1-4i} \not \in L$ ). En cualquier caso $i\mapsto -i$ envía un elemento a su conjugado. También cambia los dos factores de la ecuación anterior. No se puede ampliar, ya que sólo uno de estos factores tiene una raíz, en este campo. Este es un contraejemplo con $\alpha =i$ y $\beta =-i$
@JyrkiLahtonen No estoy seguro de entenderlo $i$ y $-i$ son conjugados, supongamos $\sigma$ es un auto para que $\sigma(i)=-i$ entonces $\sigma(x^2+x+i)=(x^2+x-i)$ así que $\sigma$ debe enviar una raíz de un factor a una raíz del OTRO factor.
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