En un comentario a una respuesta anterior se ha mencionado que el límite del conjunto de Mandelbrot contiene el cardioide $$ c = e^{it} \, \frac {2 - e^{it}}{4} $$ pero ¿cómo podemos probar esto?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
El cardioide es el límite del conjunto de $c$ s para los cuales la iteración de $$ z \mapsto z^2+c $$ tiene un atractivo de la exposición.
Dado $c$ podemos encontrar los puntos fijos fácilmente resolviendo una ecuación cuadrática, y obtenemos $$ z_* = \frac {1 \pm\sqrt {1-4c}}2 $$ Por la teoría general de los sistemas iterados, sabemos que el punto fijo es atractivo si $ \left | \frac d{dz}(z^2+c) \right | < 1$ en $z_*$ que funciona para $|z_*|< \frac12 $ . Por lo tanto, debemos encontrar el límite de la zona en cuestión mediante la equiparación $z_*$ a $ \frac12 e^{it}$ . De $$ \frac12 e^{it} = \frac {1 \pm\sqrt {1-4c}}{2} $$ un poco de álgebra simple te dará $$ c = e^{it} \frac { \pm2 -e^{it}}4 $$ como se afirma. (Y la solución con $ \pm2 =-2$ sólo corresponde a la toma $e^{i(t+ \pi )}$ en su lugar).
Saber que el límite de "la zona en la que la iteración tiene un punto fijo atractivo" está incluido en el límite de todo el conjunto de Mandelbrot es más complicado, y no sé cómo probarlo.
seanyboy
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Como Henning Makholm mencionó, el interior del cardioide principal del conjunto de Mandelbrot es precisamente el conjunto de $c$ -valores para los cuales $z^2 + c$ tiene un punto fijo de atracción. Todos estos puntos se encuentran en el conjunto de Mandelbrot, ya que el correspondiente conjunto de Julia lleno debe contener la cuenca de atracción del punto fijo de atracción, y por lo tanto no puede ser totalmente desconectado.
Así que la pregunta es, ¿cómo sabemos que el propio cardioide está contenido en el límite del conjunto de Mandelbrot?
Una respuesta es que los parámetros parabólicos son densos en el límite del cardioide. Un punto fijo $p$ para una función holomórfica $f$ se dice que es parabólico si $f'(p)$ es una raíz de la unidad. La dinámica cerca de tales puntos es bien entendida ver el capítulo 10 de Milnor, La dinámica en una variable compleja . El valor de un parámetro $c$ en el cardioide se llama parámetro parabólico si $f(z) =z^2 +c$ tiene un punto fijo parabólico. (Más generalmente, un punto en el conjunto de Mandelbrot se llama un parámetro parabólico si $z^2+c$ tiene un punto periódico parabólico).
Ahora, el cardioide es precisamente el conjunto de valores de los parámetros para los cuales $f (z) = z^2 +c$ tiene un punto fijo neutral, es decir, un punto fijo $p$ con $|f'(p)|=1$ . De hecho, si $ \sqrt {-}$ denota la rama de la función de la raíz cuadrada con un corte a lo largo del eje real negativo, luego el mapa $$ c \; \mapsto\ ; 1- \sqrt {1-4c} $$ es un homeomorfismo desde el cardioide hasta el círculo de unidades, y mapea cada valor de los parámetros $c$ al derivado de $z^2+c$ en el punto fijo neutral. Como las raíces de la unidad son densas en el círculo de la unidad, se deduce que los parámetros parabólicos son densos en el cardioide principal. (De hecho, se puede ver esto en la imagen del conjunto de Mandelbrot resulta que los valores de los parámetros parabólicos en el cardioide son precisamente los puntos en los que el cardioide principal toca los límites de los componentes hiperbólicos adyacentes).
Ahora, se sabe que cada parámetro parabólico en el conjunto de Mandelbrot es el punto de aterrizaje de exactamente dos rayos externos - ver este documento de Dierk Schleicher para una prueba . Entonces los parámetros parabólicos deben estar en el cierre del complemento, por lo que cada valor de parámetro parabólico se encuentra en el límite del conjunto de Mandelbrot. Dado que los parámetros parabólicos son densos en el cardioide y el límite es un conjunto cerrado, se deduce que todo el cardioide está contenido en el límite.
Un argumento similar muestra que, si $c$ es cualquier valor de parámetro para el cual $z^2+c$ tiene un punto periódico neutro (es decir, un punto $p$ de período $k$ para el cual $|(f^k)'(p)|=1$ ), entonces $c$ debe estar en el límite del conjunto de Mandelbrot.
