Escribir un grupo abeliano como suma directa de grupos cíclicos dada su presentación

Question

Dada la presentación de un grupo abeliano finitamente generado, ¿existe una forma directa de escribirlo como una suma directa de grupos cíclicos?

La presentación particular que estoy viendo es

$[a,b,c,d | a^3b^6c^{12}d^9, a^2b^6c^{10}d^8, a^2b^4c^8d^6]$

Answer 1

$$a = a \cdot a^3 b^6 c^{12}d^9 \cdot a^{-2} b^{-6} c^{-10} d^{-8} \cdot a^{-2} b^{-4} c^{-8} d^{-6} = b^{-4} c^{-6} d^{-5}$$ por lo que no necesitamos el generador $a$ , vamos a quitarlo para obtener la presentación $[b,c,d|b^6c^6d^6,b^2c^2d^2,b^4c^4d^4]$ sólo se necesita la relación media, cambiemos la base por $[bcd,c,d|(bcd)^2]$ por lo que encontramos que el grupo es $C_2 \oplus \mathbb Z \oplus \mathbb Z$ .

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En términos más generales, si se escriben las relaciones como una matriz, se puede calcular la forma normal de Smith de esa matriz

? matsnf(mattranspose([3,6,12,9; 2,6,10,8; 2,4,8,6; 0,0,0,0]))
%1 = [0, 0, 2, 1]

que nos dice que el grupo es isomorfo a Z/(0) x Z/(0) x Z/(2) x Z/(1) = Z x Z x C_2 .

La forma normal de smith proviene de la diagonalización de la matriz de relación utilizando una matriz de cambio de base, esto es lo que estábamos haciendo en el cálculo cuando pasamos de b,c,d a bcd,c,d.