Necesita ayuda para Teorema de Stokes en superficie integral

Question

Hola y ¿cómo estás hoy? Me encontré con un problema que necesita para utilizar el teorema de Stokes.

Los problemas que dice:

Evaluar la integral de superficie

$$ \int_{S}\nabla\times\vec{F}\cdot{\rm d}\vec{S} $$

donde F(x,y,z)=$(y^2)i$ + $(2xy)j$+$(xz^2)k$ y S es la superficie del paraboloide $z= x^2+y^2$ bounded by the planes $x=0,y=0$ and $z=1$ en el primer cuadrante que apunta hacia arriba.

Llegué $\nabla F$ $(-z^2)j$

Así que, me quedé aquí porque no sé el límite de C con el fin de utilizar el teorema de Stokes. Entonces, ¿podría por favor alguien que me ayude a empezar?

Por cierto muchas gracias por tomar su tiempo y consideración para que me ayude en este problema.

Answer 1

Es fácil para verlo cuando dibujas un cuadro de $z=x^2+y^2$ entrecruzados de tres planos. El límite contiene tres partes:

• $(0,0,0)\rightarrow(0,1,1)$ a lo largo de $z=y^2$ $x=0$
• $(0,1,1)\rightarrow(1,0,1)$ a lo largo de $1=x^2+y^2$ $z=1$
• $(1,0,1)\rightarrow(0,0,0)$ a lo largo de $z=x^2$ $y=0$

Answer 2

Trazado de las superficies, es bastante claro que vamos a tener la siguiente figura.

El teorema de Stokes a los estados que la ruta integral de un campo vectorial alrededor de la línea de puntos es igual a la de la superficie vector integral de la curvatura del campo enlazado por la superficie. es decir, $$ \oint_\gamma \vec F \cdot dr = \iint_\Omega \nabla \times \vec F \cdot \hat n d\sigma $$

En primer lugar, vamos a calcular la parte de la izquierda, la ruta integral de todo a lo largo de la curva yendo por la ruta $OA \to AB \to BO$.

A lo largo de $OA$, la curva es $z=x^2$$y=0$. $$\int_{OA} ( y^2 \hat i + 2xy \hat j + xz^2 \hat k) \cdot dr = \int_{OA} xz^2 \hat k \cdot (dx \hat i + dz \hat k ) = \int_{OA} xz^2 dz $$ Poner a $z=x^2$$x = 0 \to 1$, obtenemos $$ \int_0^1 2x^6dx = \frac 2 7 \hspace{1cm} (1)$$

Ahora a lo largo de AB, $z=1$, constante. $$\int_{AB} ( y^2 \hat i + 2xy \hat j + xz^2 \hat k) \cdot dr = \int_{AB} ( y^2 \hat i + 2xy \hat j + xz^2 \hat k) \cdot ( dx \hat i + dy \hat j)$$

La curva circular se puede parametrizar $x = \cos(\theta)$$y = \sin(\theta)$, y sabemos que a lo largo de la curva de $\theta = 0 \to \frac \pi 2 $, y que da $dx = -\sin\theta d\theta$$dy = \cos\theta d\theta$, y simplificando obtenemos

$$\int_0^{\frac \pi 2 } \left( -\sin^3 \theta + 2 \sin\theta \cos^2 \theta \right) d\theta = 0 \hspace{1cm} (2)$$

A lo largo de $OB$ procedemos de la misma como a lo largo de $OA$ pero aquí $x=0$ y obtenemos $$\int_{BO} \vec F \cdot dr = 0 \hspace{1cm} (3)$$

La adición de $(1), (2)$$(3)$, obtenemos $ \displaystyle \oint_\gamma \vec F \cdot dr = \frac 2 7 $.

La parte de la derecha:: La curvatura del campo resulta ser $- z^2 \hat j $ y la integral es $$ \iint_\Sigma (-z^2 \hat j)\cdot \hat n ds $$

La superficie de la $\displaystyle z = x^2 + y^2$ puede ser parametrizado como $S = (r \cos\theta, r\sin\theta, r^2)$ donde $r =0\to 1$ $\theta = 0 \to \frac \pi 2$ y la superficie de la integral se puede evaluar como $$\int_0^1 \int_0^{\frac \pi 2 } -r^4 \hat j \cdot \left( \frac{\partial S}{\partial r } \times \frac{\partial S}{\partial \theta } \right ) dr \; d\theta $$ La cruz del producto puede ser calculada de $ -2 r^2 \cos (\theta ) \hat yo -2 r^2 \sin (\theta ) \hat j + r \sin ^2(\theta )+r \cos ^2(\theta ) \hat k$

Y la integral se convierte como

$$ \int_0^1\int_0^{\frac \pi 2 } 2r^6 \sin ( \theta) d\theta dr = \frac 2 7 $$

AGREGÓ:: Para el trazado de las superficies, una gráfica de todas las superficies y tomar la superficie de la parabloid que está delimitado por $x=0, y=0, z=1$ en el primer cuadrante, que es la que está en el primer cuadrante que se parece a la de la tira anterior.