Las normas derivadas de todas las representaciones de *-álgebras

Question

Es común que con el fin de obtener un $C^*$-algebra de a $^*$-álgebra $A$ uno define una norma en $A$ por $$\|x\|=\sup\{\|\pi(x)\|\,|\,\pi\ \text{is a }^*\text{-representation of }A\}.$$ However, I have seen in a lot of places that this is usually written as $$\|x\|=\sup\{\|\pi(x)\|\,|\,\pi\ \text{is a (cyclic) }^*\text{-representation of }A\},$$ implying that any for any $^*$-representation $\pi$ of $A$ and $\varepsilon>0$, one can find a cyclic $^*$-representation $\pi_0$ of $A$ such that $\|\pi(x)\|\leq\|\pi_0(x)\|+\varepsilon$. I want to know why this is true. I have been able to prove that it holds for unital $C^*$-algebras:

Deje $\varepsilon>0$ y deje $\pi\colon A\to B(H)$ ser una representación. Deje $P=\pi(1_A)$ $H_1=P(H)$ (donde $1_A$ denota la identidad de $A$). Tenga en cuenta que para todas las $a\in A$$\eta\in H_1$,$P\pi(a)\eta=\pi(a)\eta$. Por lo tanto $\pi(a)\eta\in H_1$, por lo que podemos definir un mapa de $\pi_1\colon A\to B(H_1)$ por $$\pi_1(a)\eta=\pi(a)\eta,\quad a\in A,\ \eta\in H_1.$$ $\pi'$ está bien definido. Nota además de que $\pi(a)=\pi(a)P=P\pi(a)$ todos los $a\in A$. Entonces $$\pi(a)\eta=\pi(a)P\eta=\pi_1(a)P\eta.$$ Por lo tanto $\|\pi(a)\eta\|=\|\pi_1(a)P\eta\|\leq\|\pi'(a)\|\|\eta\|$, lo $\|\pi(a)\|=\|\pi_1(a)\|$. Elija $\xi\in H_1$ $\|\xi\|=1$ tal que $\|\pi_1(x)\xi\|\geq\|\pi_1(x)\|-\varepsilon$. Poner $H_0=\overline{\pi_1(A)\xi}\subseteq H_1$. Deje $\eta\in H_0$ $(y_n)_{n\geq 1}$ $A$ tal que $\varphi(y_n)\xi\to\eta$. Entonces $$\pi_1(a)\eta=\lim_{n\to\infty}\pi_1(a)\pi_1(y_n)\xi=\lim_{n\to\infty}\pi_1(ay_n)\xi\in\overline{\pi_1(A)\xi}= H_0$$ by continuity of $\pi_1(a)$ for all $\en$, so $\pi_1(A)H_0\subseteq H_0$. Define a map $\pi_0\colon A\B(H_0)$ by $$\pi_0(a)\eta=\pi_1(a)\eta,\quad a\in A,\ \eta\in H_0.$$ A continuación, $\pi_0$ es una representación bien definida, ya que $\pi_1(a)\eta\in H_0$ todos los $a\in A$$\eta\in H_0$. Tenga en cuenta que $\pi_0(x)\eta=\pi(x)\eta$ todos los $\eta\in H_0$. Desde $\xi=P\xi=\pi_1(1_A)\xi\in H_0$,$\pi_1(A)\xi=\pi_0(A)\xi,$, de modo que $\pi_0$ es cíclica, y $$\|\pi_0(x)\|\geq\|\pi_0(x)\xi\|=\|\pi_1(x)\xi\|\geq\|\pi_1(x)\|-\varepsilon=\|\pi(x)\|-\varepsilon,$$ como quería.

¿Alguien sabe de otra prueba de que el resultado deseado, o simplemente de una manera de generalizar el de arriba para que no unital $^*$-álgebras?

Answer 1

Creo que es mucho más simple que eso.

Fix $x\in A$. Dado que la norma satisface $\|x\|^2=\|x^*x\|$, es suficiente para suponer que el $x$ es positivo. Deje $\pi:A\to B(H)$ $*$- representación con $\pi(x)\ne0$. Deje $B\subset B(H)$ es el cierre de $\pi(A)$.

Deje $\varphi$ ser un estado de $B$$|\varphi(\pi(x))|=\|\pi(x)\|$. Ahora, considere el GNS representación $\pi_\varphi$ correspondiente a $\varphi$. Esta es una prueba cíclica de la representación, y $$\|\pi(x)\|=|\varphi(\pi(x))|=|\langle \pi_\varphi(\pi(x))\Omega_\varphi,\Omega_\varphi\rangle|\leq\|\pi_\varphi\circ\pi(x)\|.$$ La representación $\pi_\varphi\circ\pi:A\to B(H_\varphi)$ es cíclico. Así que esto demuestra que la segunda norma en su pregunta es al menos tan grande como la primera. La otra desigualdad es trivial.