Línea tangente al círculo

Question

Un círculo con un radio de $2$ tiene su centro en $(0,0)$ . Un círculo con un radio de $7$ tiene su centro en $(15,0)$ . Una línea tangente a ambas circunferencias interseca la $x$ -eje en $(x,0)$ . ¿Cuál es el valor de $x$ ? Expresa tu respuesta en forma de fracción común.

Mi problema con esta pregunta es que hay $4$ tales líneas tangentes, así que ¿cómo sé cuál elegir?

Answer 1

Editar: una búsqueda rápida (utilizando la información de los comentarios) me da la sensación de que esta pregunta trata del problema 21 de este concurso Mathcounts 2008 . Si es así, debo decir que no veo cuál es el problema. La pregunta viene acompañada de un diagrama. Este diagrama muestra claramente qué línea tangente estamos considerando. Así que esta pregunta no es tan pobre en absoluto.

Editar 2: Si hubiera estado atento, me habría dado cuenta de que el documento del enlace, contiene las soluciones a los problemas. No he podido encontrar la pregunta en sí, así que puede que siga siendo una pregunta bastante mal formulada.

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Respuesta original: La pregunta que se menciona en el OP está mal redactada. Hay cuatro líneas tangentes a ambos círculos. Se cruzan con la $x$ -eje en dos puntos diferentes. Vea esto geogebra boceto:

No es que el OP pregunte, pero ambos puntos de intesección son bastante fáciles de encontrar, a través de triángulos similares.

N.B. Me siento inclinado a añadir que la intersección con el positivo $x$ -es probablemente el que quiere la pregunta, ya que dice "Expresa tu respuesta como una fracción común". Esto no es algo que uno añadiría a la pregunta cuando la respuesta es $-6$ .

Answer 2

Por lo tanto, existe una solución utilizando el $Ax+By+C=0$ notación para las líneas. Dada una circunferencia con centro $(x_c,y_c)$ y el radio $r$ todas las posibles tangentes están dadas por la línea:

$$ x (\cos\psi) + y (\sin \psi) -(x_c \cos\psi + y_c \sin \psi + r) = 0 $$

De hecho, cada múltiplo escalar del $(A,B,C)$ Los coeficientes también describen la misma recta y vamos a utilizar este hecho a continuación para igualar las rectas tangentes de las dos circunferencias.

Para las dos circunferencias las dos líneas tangentes generales son:

$$\begin{align} x (\cos \psi_1) + y ( \sin \psi_1) - 2 & =0 \\ x (\cos \psi_2) + y ( \sin \psi_2) - (7+15 \cos \psi_2) & = 0 \end{align}$$

Si multiplicamos la primera ecuación por $\lambda = \frac{7}{2} + \frac{15}{2} \cos\psi_2$ y luego restarlo de la segunda ecuación se obtiene

$$ x \left(\cos\psi_2 - \lambda \cos\psi_1 \right) + y \left( \sin\psi_2 - \lambda \sin\psi_1 \right) = 0 $$

Esto debe ser cierto, independientemente de qué punto $(x,y)$ a lo largo de la línea tangente. Así que lo anterior es como un conjunto de ecuaciones para los dos ángulos

$$\begin{align} \cos \psi_2 & = \lambda \cos \psi_1 \\ \sin \psi_2 & = \lambda \sin \psi_1 \end{align}$$

Esto tiene dos soluciones, $\lambda=1$ y $\lambda=-1$ . La primera da las tangentes exteriores y la segunda las interiores. Así que las dos tangentes se encuentran por $$ \cos \psi_2 = -\frac{1}{3} \\ \cos \psi_2 = - \frac{3}{5} $$

Resolviendo la ecuación de la segunda recta tangente para $x$ utilizando $y=0$ y los ángulos anteriores nos dan

$$ x= \frac{7}{\cos \psi_2} + 15 = \begin{cases} -6 & \lambda=1 \\ \frac{10}{3} & \lambda=-1 \end{cases} $$