¿Por qué el grupo de simetría$S_3$ no es el producto directo de dos grupos no triviales?

Question

Sé que$S_3$ es el producto directo de semi% $\bigl\langle(1\ \ 2\ \ 3)\bigr\rangle \rtimes\bigl\langle(1\ \ 2)\bigr\rangle$, y no estoy seguro de dónde exactamente la propiedad directa producto falla. ¿Es solo porque$\bigl\langle(1\ \ 2)\bigr\rangle$ no es normal en$S_3$?

Answer 1

Eso es suficiente, sí. Si$G=H_1\times H_2$, entonces$\{e_{H_1}\}\times H_2$ y$H_1\times\{e_{H_2}\}$ son subgrupos normales de$G$.

Además, el producto directo de dos grupos abelianos es nuevamente abeliano.