Para cualquier % ordinal contable $\alpha$, hay algún conjunto cerrado de reales cuyo rango de Cantor-Bendixson es $\alpha$

Question

Quiero demostrar que para cualquier % ordinal contable $\alpha$, es que algunos cerraron conjunto de $C\subset \mathbb R$ tales que la fila de Cantor-Bendixson de $C$ $\alpha$.

No han sido capaces de crear una construcción exitosa y justo ahora estoy sin ideas, pero creo que esto debe ser cierto. ¿Podría alguien dar una prueba (contraejemplo)?

Answer 1

Para una contables ordinal $\alpha$, considerar la (compacto) de espacio de $X_\alpha = \omega^\alpha+1$ (ordinal exponenciación de curso, así que esta es una contables ordinal) en el orden de la topología. Es clásico que el Cantor Bendixson rango de $X_\alpha$ es exactamente $\alpha$. Probablemente se podría demostrar por inducción transfinita. Este papel tiene más detalles.

Y cada contables ordinal en el orden de la topología de la metrisable (segunda contables y normal) y se incrusta en $\mathbb{Q}$ (que contiene una orden de isomorfo copia de cualquier contables espacio ordenado) y de ahí a los reales.

Esta pregunta y sus respuestas dar más info de nuevo.