La clase de grupos finitos (modelos) y de los grupos contables no son clases elementales (una versión generalizada).

Question

Primero algunas definiciones: Para un conjunto $\Sigma$ $\mathcal{L}$frases, $Mod(\Sigma)$ denota la clase de todos los modelos que satisfacen $\Sigma$. Para una clase de $\mathcal{M}$ de los modelos, se le dice $EC$ si $\mathcal{M} = Mod(\sigma)$ para algunos sentencia de $\sigma$ $EC_\Delta$ si $\mathcal{M} = Mod(\Sigma)$.

Problema. Deje $T$ ser una teoría tener arbitraria de gran tamaño finito de los modelos. (Por ejemplo, $T$ puede ser axiomas para grupos, o campos, o lineal de orden.) Deje $\mathcal{K}_{inf} = \{ M : M \models T, \mbox{Card}(|M|)\geq \infty \}$$\mathcal{K}_{fin} = \{ M : M \models T, \mbox{Card}(|M|)< \infty \}$.

Pregunta.

(a) ¿Qué significa 'finito de modelos? Modelo del universo finito? O de un número finito de modelos?

(b) $\mathcal{K}_{inf}$ $EC_\Delta$

(c) $\mathcal{K}_{fin}$ $EC_\Delta$

(d) $\mathcal{K}_{inf}$ $EC$

Obviamente no quiero algunas completo y detallado de la solución. Es sólo que no puedo ni siquiera empezar a resolver los problemas.

Dar algunas sugerencias y consejos. Debo usar el Teorema de Compacidad?

Answer 1

OK, aquí están algunos consejos:

¿b) puede expresar "el dominio de M es infinito", como una primera teoría de la orden? Llamar a esta teoría $\text{Th}(\infty)$. Entonces la clase de modelos de $T\cup \text{Th}(\infty)$ es $\mathcal{K}_{\text{inf}}$.

c) aquí puede utilizar compacidad. Supongamos que $\mathcal{K}_{\text{fin}}$ es la clase de modelos de $T^$. Entonces $T^\cup \text{Th}(\infty)$ es inconsistente. ¿Ves un problema aquí?

d) uso parte c): si tuvieras una sola oración que se cosecha $\mathcal{K}{\text{inf}}$, se puede encontrar una teoría de la selección $\mathcal{K}{\text{fin}}$.