¿Tengo razón en mis conclusiones sobre estas series?

Question

Estoy tratando de decidir si estas series convergen o divergen:

1. $$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \left(\frac{2n + 100 }{3n + 1 }\right)^n $$ Here $ \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (\ frac {2n + 100} {3n + 1} \ right) ^ n \ ne 0 $, entonces podemos concluir que el serie diverge?

2. $$ \sum_{n=1}^{\infty} \log \left( n \sin \frac{1}{n} \right) $$ Can we compare this series with the divergent series $ \ sum \ log \ sin (1 / n) $ para concluir que es divergente también?

¿Estoy llegando a la conclusión correcta en cada caso?

Answer 1

Sugerencias:

Para la primera serie, el uso a raíz de la prueba para demostrar que la serie converge. $$\lim_{n\to \infty}\sqrt[\large n]{\left|(-1)^n \left(\frac{2n + 100}{3n + 1}\right)^n\right|}=\lim_{n\to \infty}\left(\frac{2n + 100 }{3n + 1 }\right) = \frac23 < 1$$

Por lo tanto, $$\sum_{n = 1}^\infty (-1)^n \left(\frac{2n + 100}{3n + 1}\right)^n\;\;\text{converges}$$

---

Para el segundo de la serie, utilice el texto de comparación para demostrar que la serie converge, también.

Aclaración:

Sabemos por la expansión en series de Taylor que $$\sin\left(\frac 1 n\right)=\frac 1 n +O\left(\frac{1}{n^3}\right).$$

De ello se sigue, entonces, que el $$\log\left(n\sin\left(\frac1 n\right)\right)=\log\left(n \left(\frac 1n + O\left(\frac 1{n^3}\right)\right)\right) = 1 + O \left(\frac 1{n^2}\right) = O\left(\frac 1{n^2}\right)$$ Así que la serie es convergente en comparación a $\sum \dfrac 1{n^2}$