Problema en la comprensión de la prueba del teorema de Lebesgue-radón-Nikodym

Question

En Folland del Análisis Real book page $90$, la de Lebesgue-Radon-Nikodym Teorema se da como

Deje $\nu$ $\sigma$- finito firmado medir y $\mu$ $\sigma$- finito medida positiva en $(X,\mathcal{M})$. Existe únicas $\sigma$-finito firmado medida $\lambda,\rho$ $(X,\mathcal{M})$ tal que $\lambda\perp \mu$, $\rho\ll\mu$, y $\nu=\lambda+\rho$. Por otra parte, existe una extendida $\mu$integrable función de $f: X\to\mathbb{R}$ tal que $d\rho=fd\mu$, y cualquiera de las dos funciones son iguales $\mu$ -.e.

Para demostrar este teorema, primero se puede considerar el caso de que $\nu$ $\mu$ son "finitos" y "positivo". Entonces, se puede extender al caso en que $\nu$ $\mu$ "$\sigma-$finito" y "positivo". Por último, desde el $\nu = \nu^+ - \nu^-$, podemos concluir que para firma de medida $\nu$.

Pero tengo un problema en la comprensión de la segunda etapa. En este paso, podemos escribir $X = \cup_j A_j$ donde $A_j$'s son disjuntas y $\nu(A_j)< \infty$$\mu(A_j) < \infty$. Entonces, podemos definir, $\nu_j(E) = \nu(E \cap A_j)$ $\mu_j(E) = \mu(E \cap A_j)$ donde $\nu_j$ $\mu_j$ son finitos. Así, a partir de los resultados de la primera etapa, sabemos que $\lambda_j\perp \mu_j$, $\rho_j\ll\mu_j$, y $\nu_j=\lambda_j+\rho_j$, $d\rho_j=f_jd\mu_j$. Pero luego, le dice que si definimos $\lambda = \sum_j \lambda_j$$f = \sum_j f_j$, $\nu=\lambda+\rho$ donde $d\rho = fd\mu$.

Sabemos que $\rho_j\ll\mu_j$$\lambda_j\perp \mu_j$. Para mostrar que $\rho\ll\mu$$\lambda \perp \mu$, es decir que puesto que para cada $j$, $\rho_j\ll\mu_j$ y $\lambda_j\perp \mu_j$, luego podemos concluir que el$\sum_j\rho_j\ll \sum_j\mu_j$$\sum_j\lambda_j\perp \sum_j\mu_j$?

Answer 1

Los conjuntos de $A_j$ son distintos, y por lo $\nu_j\perp\nu_k$$j\ne k$. A continuación, contables subadditivity $$\sum_j\nu_j(E)=\sum_j\nu(E\cap A_j).$$ De nuevo, los conjuntos de $E\cap A_j$ son distintos, por lo que $$=\nu\left(E\cap(\cup_jA_j)\right)=\nu(E\cap X)=\nu(E).$$

Resultados similares se aplican a $\lambda_j$$\rho_j=f_jd\mu_j$. Usted puede usar esto para mostrar que $\lambda$, $\rho$ son mutuamente singular unsigned medidas, y que $\lambda\perp \mu$, $\rho\ll \mu$. Acaba de escribir como la suma, recordando que el $A_j$ son disjuntas.

¿Eso ayuda? La prueba de que usted ha escrito es completa, lo que, en particular, acerca de que no tiene sentido para usted?

EDIT: En respuesta a su edición, vamos a mostrar que el $\rho\ll \mu$, lo que equivale a mostrar el $\rho=fd\mu$. Por definición de $\rho$ $$\rho(E)=\sum_j\rho_j(E).$$ Como $\rho_j=f_jd\mu$: $$=\sum_j\int_X\chi_Ef_jd\mu.$$ Como el $f_j$ son positivos, podemos utilizar el Teorema de Convergencia Monótona para llevar la suma dentro de la integral: $$=\int_X\chi_E\sum_jf_jd\mu=\int_X\chi_Efd\mu=\int_Efd\mu.$$ Por lo tanto $\rho=fd\mu$.

Para mostrar $\lambda\perp\mu$, supongamos $E$ $\mu$- medida cero, y definir $E_i=E\cap A_i$. El resultado de ellos de la siguiente manera a partir de la escritura de $\mu=\sum_i\mu_i$, y tomando nota de que $\mu_i\perp\mu_j$$i\ne j$.