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Convertir la suma de Riemann en una integral definida: lim

Estoy entre 2 respuestas para esta pregunta, pero no estoy seguro de que alguna de ellas sea correcta. \lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n\sqrt{{1\over n^2}\left(1+{2k\over n}\right)} Hay que reescribirla como una integral definitiva. Estoy entre \int_0 ^1\sqrt{1+2x}dx y \int_1^2\sqrt{x}dx No estoy seguro de si cualquiera de ellos o derecho sin embargo, ayuda por favor.

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Escribe explícitamente las sumas de Riemann para cada una, digamos para n=5 . Las sumas para el primero encajarán bien. Las del segundo no.

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\lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n\sqrt{{1\over n^2}(1+{k\over n})}=\int_1^2\sqrt{x}dx

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¿Delta x es 1/n o 2/n? Se puede sacar el factor 1/n^2 del radical y obtener 1/n o decir que es f(a+k(delta x)). Entonces, ¿sería 1/n o 2/n?

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Renan Puntos 6004

Podemos recordar que para cualquier función integrable de Riemann sobre [a,b] , como n \to \infty , uno tiene

\sum_{k=0}^n\frac{(b-a)}nf\left(a+\frac{k(b-a)}n \right) \to \int_a^bf(x)dx

Entonces puede aplicarlo a \displaystyle f(x)=\sqrt{1+2x} , a=0 , b=1 dando el límite \int_0 ^1\sqrt{1+2x}\:dx. Por el cambio de variable 1+2x \to u también se obtiene \frac12\int_1^3\sqrt{u}\:du

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Pero si es f(a+k(ba)/n) entonces ¿no debería a = 1 en lugar de 0?

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Si eliges \displaystyle f(x)=\sqrt{1+2x} entonces a=0 ya que el número 1+\ldots ya está en la función.

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Pero, ¿es la función \sqrt{1+2x} ?

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