Convertir la suma de Riemann en una integral definida: $\lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n\sqrt{{1\over n^2}\left(1+{2k\over n}\right)} $

Question

Estoy entre 2 respuestas para esta pregunta, pero no estoy seguro de que alguna de ellas sea correcta. $$\lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n\sqrt{{1\over n^2}\left(1+{2k\over n}\right)} $$ Hay que reescribirla como una integral definitiva. Estoy entre $$\int_0 ^1\sqrt{1+2x}dx$$ y $$\int_1^2\sqrt{x}dx$$ No estoy seguro de si cualquiera de ellos o derecho sin embargo, ayuda por favor.

Answer 1

Podemos recordar que para cualquier función integrable de Riemann sobre $[a,b]$ , como $n \to \infty$ , uno tiene

$$ \sum_{k=0}^n\frac{(b-a)}nf\left(a+\frac{k(b-a)}n \right) \to \int_a^bf(x)dx $$

Entonces puede aplicarlo a $\displaystyle f(x)=\sqrt{1+2x}$ , $a=0$ , $b=1$ dando el límite $$ \int_0 ^1\sqrt{1+2x}\:dx. $$ Por el cambio de variable $1+2x \to u$ también se obtiene $$ \frac12\int_1^3\sqrt{u}\:du $$