¿ZFC + no-CH, puede un conjunto con cardinalidad entre $\aleph_0$y $2^{\aleph_0}$ definirse?

Question

Hipótesis del continuo no afirma, hay ningún conjunto con cardinalidad entre los enteros y los reales.

Hay un resultado de hito, que CH es independiente de ZFC. Es decir, tanto de ZFC + CH, y ZFC + CH no son consistente.

Qué pasa si ZFC y no-CH. Así, tenemos un axioma que los Estados, es una cardinalidad entre $\aleph_0$y $2^{\aleph_0}$.

¿Se puede definir un sistema tal?

Answer 1

En cierto sentido, sí, siempre puede construir un conjunto de tamaño $\aleph_1$. Específicamente $\omega_1$ es un conjunto de tamaño $\aleph_1$. Y si la hipótesis del continuo no, sirve como un contraejemplo.

Quizá quieras preguntar o no se puede construir un sistema de números verdaderos de este tamaño y la respuesta a esta pregunta dependerá de su concepto de "constructo", pero si te refieres a definir "de una manera razonable" la respuesta es siempre negativa.