Densidad de matrices Diagonalizable

Question

Suponga que el $A$ de la matriz no es diagonalizable. Mostrar que todos $\epsilon>0$, existe una matriz diagonalizable $A{\epsilon}$ tal que $||A-A{\epsilon}||_{2}

Answer 1

Esto sigue directamente de la descomposición de Schur. Que $A = U T U^*$ ser diagonalizable. $U$ Es unitario y es triangular, con lo elementos $T$ $t_{ij}$. Que $\varepsilon_i$ $i = 1,\dots,n$ ser tal que

$$t_{ii} + \varepsiloni \ne t{jj} + \varepsilon_j, \quad \text{for all $i \ne j $}$ $

y $|\varepsilon_i|$ suficientemente pequeño. Lo dejo a usted para mostrar que esto siempre es posible.

Definición de $T' := T + \operatorname{diag}(\varepsilon_1, \dots, \varepsilonn)$ y $A\varepsilon := U T' U^*$. Obviamente, todos valores propios $A\varepsilon$ son distintas, por lo que $A\varepsilon$ es diagonalizable.

Answer 2

Sugerencia: una condición suficiente para que un $n\times n$ matriz a es diagonalizable por su polinomio característico tener $n$ distintas raíces. Además, los coeficientes del polinomio característico son continuas con relación a la matriz $A$, cualquiera que sea la norma que desea, ya que todas las normas son equivalentes en dimensión finita; y el número de raíces de un polinomio puede ser cambiado "fácilmente" por pequeñas perturbaciones de los coeficientes (a pesar de que hablamos de algo "handwavily", esto puede ser discutido).

Por lo tanto, para todos los $\epsilon > 0$, se puede mostrar que existe una matriz de cerca a $A$ por menos de $\epsilon$ $\ell_2$ norma cuyo polinomio característico tiene $n$ distintas raíces.