Ecualizador de homomorfismo de enteros

Question

Tengo la siguiente situación:

$\mathbb{Z} \mathop{\rightrightarrows^{0}_{2} \mathbb{Z}} \ \ $

Donde aquí$0$ y$2$ representa la multiplicación.

Ahora, quiero encontrar el ecualizador de este diagrama (en la categoría de Grupos Abelianos), y sé que debería ser$\mathbb{Z}$, pero no entiendo por qué. El asunto aquí es que está involucrado el$0$ - map que hace que todo sea "trivial", ¿por qué no$\{ 0 \}$ como ecualizador?

Answer 1

El ecualizador de$0$ y$2$ es el conjunto de$x\in Z$ de modo que$0(x)=2(x)$ ie$0=2x$, es decir,$x=0$. Entonces el ecualizador es$\{0\}$.

Answer 2

Edificio en la respuesta anterior, el ecualizador es, literalmente, que: los dos caminos son iguales.

Así que pregúntate a ti mismo: cuando es 0 veces un número de la misma como 2 veces ese número? Como la respuesta de arriba muestra, sólo cuando 0 es ese número.

Ahora que se extienden.

Imagina si los caminos 1 y 2 en lugar de 0 y 1. ¿Cuál es el ecualizador? Bien, necesitamos un número en Z tales que 1 veces ese número es igual a 2 veces ese número. Hay un número en Z?

Ahora imagina que los caminos eran 2 y 3. Ahora estamos buscando un número en Z tal que 2 veces ese número es igual a 3 veces el número? Hay un número en Z?

Así que cualquiera de los dos caminos en el Z no tiene ecualizador menos {0}, Z del kernel, es uno de los caminos.