Eficiente manera de comparar las raíces (no de calculadora ' cuenta t)

Question

¿Cómo puedo saber que uno de los siguientes números es mayor: %#% $de #% que puede escribirse también como: %#%$ de #% existe una forma rápida de determinar cuál es el número mayor sin una calculadora? $$2^{1/2},3^{1/3},4^{1/4},5^{1/5},{6^{1/6}}$ th raíz algoritmo no es rápido por lo que no puedo usarlo. ¿Cómo podemos solucionar esto y problemas similares sólo con la mano?

Answer 1

$$\begin{array}{rrcl} & n^{1/n} &>& (n+1)^{1/(n+1)} \ \iff& n^{n+1} &>& (n+1)^n \ \iff& n &>& \displaystyle \left(1+\frac1n\right)^n \ \impliedby& n &>& e \end{matriz}$$

Desde $3 > e$, podemos estar seguro que el $3^{1/3} > 4^{1/4} > 5^{1/5} > 6^{1/6}$.

En cuanto a $2$, tenga en cuenta que $\left(1+\dfrac12\right)^2 = 2.25 > 2$, que $2^{1/2}

Así que el mayor número es $3^{1/3}$.

Answer 2

Sugerencia: Está disminuyendo la función $f(x)=x^{1/x}$ $x \ge e$. Solo queda para comparar $2^{1/2}$ y $3^{1/3}$. Para eso, elevar a la potencia de $6$-th.

Answer 3

Los logaritmos son $de$$\frac{\ln n}{n}$ $n=2,\ldots,6$. La función $f(x)=(\ln x)/x$ está aumentando en el $(1,e)$, tiene un máximo en $e$ y está disminuyendo en $(e,\infty)$. Para encontrar el más grande en la lista, basta con comparar $f(2)$ y $f(3)$. Para encontrar el más pequeño en tu lista, basta con comparar $f(2)$ y $f(6)$.

Answer 4

Para comparar fracciones, los pondría sobre el mismo denominador, y se podría aplicar un método similar en este caso, usando $(x^a)^b=x^{a b}$.

Por ejemplo, puede escribir $2^{1/2} = (2^3)^{1/6} = 8^{1/6}$ $3^{1/3} = (3^2)^{1/6} = 9^{1/6}$, es claro que $3^{1/3} > 2^{1/2}$.

Puede comparar todos cinco en uno ir escribiendo todo en el % de forma $n^{1/60}$, pero si se puede calcular, por ejemplo, $5^{12}$ sin calculadora es otro asunto.