Ejemplos de colectores cerrados raramente acíclicos dimensionales raros.

Question

Racionalmente acíclicos significa que el todo racional de homología de grupos desaparecen, excepto el cero de la homología de grupo. Aquí cerrado colector significa compacto sin límite. Incluso dimensión, hemos de niza ejemplos de forma racional acíclicos cerrado conectado a los colectores. Por ejemplo, incluso dimensiones reales espacios proyectivos. El racional de la homología de grupos de $\mathbb{RP}^{2n}$ $H_{0}(\mathbb{RP}^{2n};\mathbb{Q})=\mathbb{Q}$ $H_{i>0}(\mathbb{RP}^{2n};\mathbb{Q})=0.$ es posible cerrado impar dimensiones del colector o no? En orientado a caso no es posible porque la parte superior de la homología de grupo orientadas cerrada múltiple es distinto de cero.

Answer 1

¡No! Características de Euler es un obstáculo. Cualquier variedad dimensional extraña cerrada tiene $\chi=0$ [sigue de dualidad de Poincaré]. Pero si es racionalmente acíclico, entonces $\chi=1$. Contradicción.