¿El factor primo de un número es siempre menor que su raíz cuadrada?

Question

Estaba repasando el teorema fundamental de la Teoría de los Números, según el cual cualquier número entero distinto de cero n puede representarse como un producto de primos distintos. Un problema relacionado con este teorema es demostrar que para todo número de este tipo, existe un primo p tal que p< $\sqrt n$ .
Me preguntaba si hay alguna prueba matemática de que no existe ningún primo p para el número n tal que p> $\sqrt n$ .

Answer 1

Una forma de abordar la solución sería construir dos modelos: uno para los valores que se ajustan a la distribución y otro para los valores atípicos. Mi sugerencia a este respecto sería crear una variable de respuesta binaria (0,1) siendo 0 el valor si el punto de datos está dentro de los límites de su distribución y 1 si se encuentra fuera. Así, para los casos de los valores atípicos que desea mantener en sus datos, tendrá 1 en su variable objetivo y el resto como 0. Ahora ejecute una regresión logística para predecir las probabilidades de los valores atípicos y puede multiplicar el valor medio para el grupo de valores atípicos con las probabilidades individuales para obtener las predicciones. Para el resto de los datos, puede ejecutar su SVM para predecir los valores.

Dado que los valores son atípicos, tendrán bajas probabilidades asociadas e incluso si se toma la media de los valores atípicos, que será sesgada, el valor esperado de los valores atípicos se reducirá debido a sus bajas probabilidades adjuntas, lo que hará que la predicción sea más razonable.

Me encontré con una situación similar al predecir el importe de los siniestros para un proveedor de servicios de seguros. Utilicé la técnica mencionada anteriormente para aumentar el rendimiento de mi modelo de forma drástica.

Otra forma podría ser tomar la transformación logarítmica de su variable objetivo, lo cual es posible si sólo tiene un valor positivo en su variable objetivo. Pero asegúrese de que si toma una transformación logarítmica de su variable objetivo, al predecir la variable debe incluir también el componente de error.

Así que, $\log(Y) = a + B'X + \epsilon$ es su ecuación modelo para, por ejemplo

entonces, $Y = \exp(a+B'X+\epsilon)$

Puede echar un vistazo al siguiente enlace para la transformación logarítmica: http://www.vims.edu/people/newman_mc/pubs/Newman1993.pdf

Answer 2

Parece que te confundes con otra afirmación, que es que el menor factor primo de un número compuesto N es menor o igual que $\sqrt N$ .

Answer 3

Prueba: Supongamos que $n$ es un número entero positivo s.t. $n=pq$ , donde $p$ y $q$ son números primos. Supongamos que $p>\sqrt{n}$ y $q>\sqrt{n}$ . Multiplicando estas desigualdades tenemos $p.q>\sqrt{n}.\sqrt{n}$ , lo que implica $pq>n$ . Esto es una contradicción con nuestra hipótesis $n=pq$ . Por lo tanto, podemos concluir que $p\leq \sqrt{n}$ o $q \leq \sqrt{n}$ .

Answer 4

Esto no significa que cada factor de $n$ sería menos que $\sqrt{n}$ de hecho, al menos un factor sería menor que $\sqrt{n}$ si $n$ no es un número primo. Explicación: $$ n=\sqrt{n}\cdot \sqrt{n},\quad n=a\cdot b, $$ por lo que 1) si un factor es menor que $\sqrt{n}$ entonces otro será mayor que $\sqrt{n}$ , 2) si no hay ningún factor de este tipo inferior a $\sqrt{n}$ entonces ambos factores serían mayores que $\sqrt{n}$ pero no es posible; entonces, ese número debe ser primo si no tiene un factor menor que $\sqrt{n}$ .

Answer 5

N=a*b=ab+b^2-b^2=b^2 + b(a-b)

si b < a entonces b^2 < N entonces b < sqrt(N)

si b = a a = b = sqrt(N)