Rectángulo inscrito más grande en un sector

Question

¿Cuál es el rectángulo más grande (por área) que se puede inscribir en un sector circular con radio $r$ y ángulo central $\alpha$?

Creo tener una respuesta a esta pregunta, pero me gustaría que se confirmara.

Es bien sabido que el rectángulo más grande en un semicírculo (donde el ángulo central $\alpha = \pi$) tiene las dimensiones $x= \sqrt{2}r$ y $y=\frac{\sqrt{2}}{2}r$. Para ángulos de sector mayores que $\pi$, es decir para $\pi \lt \alpha \lt 2\pi$, este sigue siendo el rectángulo más grande, ya que ningún rectángulo puede doblarse alrededor o abarcar el centro del círculo (ver figura abajo).

Para sectores más pequeños que un semicírculo, es decir para $0 \lt \alpha \lt \pi$ tenemos la siguiente situación:

Después de establecer ecuaciones para x y y (dependientes de $\theta$ y $\alpha$), estableciendo el área $A = xy$ y diferenciando, descubro que el rectángulo de área máxima ocurre cuando $$\theta = \frac{\alpha}{4}$$ ¿Alguien puede confirmar que esto es correcto?

Como prueba, establecí $\alpha = \pi$ (es decir, el semicírculo) y esto da $\theta = \frac{\pi}{4}$, lo cual es correcto.

Un dato interesante (si la fórmula es correcta) es que cuando $\alpha = \frac{\pi}{3}$ el rectángulo de área máxima es un cuadrado, por primera vez desde $\alpha = 2 \pi$.

Una pregunta adicional: ¿Es el rectángulo inscrito más grande también el rectángulo más grande posible? Es decir, ¿podría haber rectángulos más grandes donde cada esquina no toque el sector?

Answer 1

Su resultado es correcto, y conduce a un área máxima igual a $\displaystyle{1-\cos(\alpha/2)\over\sin(\alpha/2)}$.

Pero con una disposición diferente del rectángulo se puede obtener un área mayor. Si $\alpha<90°$ puedes construir un rectángulo inscrito como se muestra en el diagrama debajo a la izquierda. El área máxima ocurre cuando un vértice del rectángulo está en el punto medio del arco. Si $\alpha\ge90°$ puedes construir un rectángulo inscrito como se muestra en el diagrama debajo a la derecha. El área máxima ocurre cuando el rectángulo es un cuadrado.

Un cálculo tedioso da como resultado las expresiones mostradas en el diagrama (deberían ser correctas, pero por favor, revíselas si tiene tiempo). En el primer caso, el área del rectángulo siempre es mayor que su resultado. En el segundo caso, el área es mayor solo si $\cos(\alpha/2)<3/5$.