He encontrado este problema en algunas de las notas de un enlace en la página del curso de un determinado curso online que estoy teniendo. No estoy seguro de si estoy autorizado a proporcionar aquí, así que esperemos que el contexto no importa mucho. En este post, yo uso la frase $f(x)\asymp g(x)$ significa que $$\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=M\in\Bbb R\setminus \{0\},$$ es decir, $f$ $g$ tienen la misma tasa de crecimiento.
Determinar si $\ln^{\ln(x)}(x)\in O(x^2)$.
Mi Intento: creo que la respuesta es sí. La forma más sencilla de demostrar tal afirmación, por lo que yo sé, es aplicar la regla de L'Hôpital para el límite de $\lim_{x\to\infty}\ln^{\ln(x)}(x)/x^2$. Pero, primero de todo, vamos a $f=\ln^{\ln(x)}(x)$. Luego, por las reglas de los logaritmos es claro que $\ln(f)=\ln(x)\cdot\ln(\ln(x))$, y además $$\require{cancel}\begin{align}f'\cdot\frac{1}{f} &= \frac{d}{dx}[\ln(x)\cdot\ln(\ln(x))] \\ &=\frac{1}{x}\cdot\ln(\ln(x))+\cancel{\ln(x)}\cdot\frac{1}{\cancel{\ln(x)}}\cdot\frac{1}{x} \\ &=\frac{\ln(\ln(x))+1}{x}\end{align}.$$ Por lo tanto, $$f'=\frac{\ln^{\ln(x)}(x)(\ln(\ln(x))+1)}{x}.$$ A partir de aquí, una aplicación de la regla de L'Hôpital rendimientos $$\begin{align}\lim_{x\to\infty}\frac{\ln^{\ln(x)}(x)}{x^2} &=\lim_{x\to\infty}\frac{\ln^{\ln(x)}(x)(\ln(\ln(x))+1)}{x^2} \\ &=\lim_{x\to\infty}\ln^{\ln(x)}(x) \ \cdot \ \underbrace{\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(\ln(x))+1}{x^2}}_{(\star)},\end{align}$$ y esto es suficiente para demostrar que el límite de $(\star)$ es igual a cero; es decir, que $O(x^2)\ni \ln(\ln(x))+1\asymp\ln(\ln(x))$. En consecuencia, hemos $$\require{cancel}\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(\ln(x))}{\ln(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac{\cancel{x}}{\cancel{x}\ln(x)}=0.$$ lo que implica que $\ln(\ln(x))\in O(\ln(x))$ (como uno podría elegir a $M=1$ y algunos lo suficientemente grande valor de $x_0$ en la definición). Pero, desde $$\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x^2}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^2}=0,$$ tenemos que $O(\ln(x))\subsetneq O(x^2)\implies\ln(\ln(x))\in O(x^2)$. Por lo tanto, el límite de $(\star)$ es cero y $\ln^{\ln(x)}\in O(x^2)$.
Es esto una prueba de la correcta? Puede ser mejorado? Generalmente, para probar algo como esto dadas dos funciones $f$$g$, uno podría elegir un valor de $x_0$, y luego construir un constante$M$, de modo que $|f(x)|\le Mg(x)$, pero en este caso, yo no estaba seguro de cómo hacerlo. También, si se prefiere, en la notación $f(x)\in O(g(x))$ podría ser intercambiados con $f(x)=O(g(x))$.
Gracias de antemano!
Edit: Ahora que me doy cuenta de que mi afirmación es falsa, es posible demostrar que $x^2\in O(\ln^{\ln(x)}(x))$?
