Estoy tratando de mostrar que \frac{12}{2x+5}\le \frac{3}{7}$$\frac{1}{5}
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Farrukh Ataev
Puntos
21
Cybolic
Puntos
177
Queremos mostrar que $$\int_5^8{\frac{2x-7}{2x+5}dx}<1.$$ Let $g:(0,\infty)\a\mathbf R$ be given by $$g(x)=1-\int_5^x{1-\frac{12}{2w+5}dw}.$$ Then $$g'(x)={12\over{2x+5}}-1$$ and $$g''(x)={-24\over{(2x+5)^2}}<0\,\, \forall x.$$ Thus, $g$ is concave. Also, $g'=0$ at $x=3.5$, so that $g$ has its turning point $\left( g'(3)>0\,\text{y}\,g'(4)<0 \right)$ at $x=3.5$, where $g=2.5-6\log \frac 54>0$ since $4e^{5/12}>5.$ Thus, $g$ solo dispone de dos raíces.
Claramente, una de las raíces debe ser $<3.5$, por lo que sólo necesitamos considerar la otra raíz $>3.5$ (ya que estamos interesados sólo en cómo esta función se comporta en $[5,8]$). Yo reclamo que la otra raíz es también $>8.$ Ahora tenemos que $$g(x)=6-x-6\log(2x+5),$$ so that $$g(8)=6\log \frac75 -2>0.$$ That last inequality holds because clearly $7>5e^{1/3}.$ Also, $$g(20)=-14+6\log 3<-14+12=-2<0,$$ since $3<e^2=(2+\varepsilon)^2=4+\delta$, where $1/2<\varepsilon<1$ and $\delta=4\varepsilon+\varepsilon^2.$
En consecuencia, la otra raíz de $g$ debe ser en $(8,20)$, por lo que el $g>0$ $[5,8]$ (desde $g(5)=1>0$). El resultado sigue estableciendo $x=8$ $g(x)>0.\blacksquare$
Roger Hoover
Puntos
56
$f(x)=\frac{2x-7}{2x+5}$ es una función cóncava en $[5,8]$, por lo tanto, por el Hermite-Hadamard la desigualdad la quería integral es acotada entre $$ \frac{1}{2}f(5)+f(6)+f(7)+\frac{1}{2}f(8) = \frac{11043}{11305} > \frac{42}{43}$$ y $$ f\left(\tfrac{11}{2}\right)+f\left(\tfrac{13}{2}\right)+f\left(\tfrac{15}{2}\right) = \frac{59}{60}<1.$$ Como una alternativa, uno puede notar que el valor exacto es dado por $3-6\log\left(1+\frac{2}{5}\right)$, y por Padé approximants $\log(x+1)$ es acotada entre $\frac{x}{1+\frac{x}{2}}$$\frac{x+\frac{x^2}{6}}{1+\frac{2x}{3}}$$[0,1]$. Esto da que la quería integral se entre $\frac{93}{95}$$1$.
