Prueba $\sum_{k=0}^{n}{\binom{2n+1}{k}}2^{n-k} = \sum_{k=0}^{n}{\binom{n+k}{k}}3^{n-k}$

Question

Quiero demostrar la siguiente ecuación pero no encuentro una buena prueba combinatoria

$\sum_{k=0}^{n}{\binom{2n+1}{k}}2^{n-k} = \sum_{k=0}^{n}{\binom{n+k}{k}}3^{n-k}$

Answer 1

Es conveniente utilizar el coeficiente de operador $[z^k]$ para denotar el coeficiente de $z^k$ de una serie. De esta manera podemos escribir, por ejemplo \begin{align*} [z^k](1+z)^n=\binom{n}{k} \end{align*}

Obtenemos \begin{align*} \color{blue}{\sum_{k=0}^n\binom{n+k}{k}3^{n-k}}&=\sum_{k=0}^n\binom{2n-k}{n-k}3^k\tag{1}\\ &=\sum_{k=0}^\infty[z^{n-k}](1+z)^{2n-k}3^k\tag{2}\\ &=[z^n](1+z)^{2n}\sum_{k=0}^\infty\left(\frac{3z}{1+z}\right)^k\tag{3}\\ &=[z^n](1+z)^{2n}\frac{1}{1-\frac{3z}{1+z}}\tag{4}\\ &=[z^n](1+z)^{2n+1}\frac{1}{1-2z}\tag{5}\\ &=[z^n](1+z)^{2n+1}\sum_{k=0}^\infty(2z)^k\tag{6}\\ &=\sum_{k=0}^\infty[z^{n-k}](1+z)^{2n+1}2^k\tag{7}\\ &=\sum_{k=0}^n\binom{2n+1}{n-k}2^k\tag{8}\\ &\,\,\color{blue}{=\sum_{k=0}^n\binom{2n+1}{k}2^{n-k}}\tag{9} \end{align*} y la afirmación es la siguiente.

Comentario:

• En (1) cambiamos el orden de la suma $k\rightarrow n-k$ .

• En (2) aplicamos el coeficiente de operador. También fijamos el límite superior en $\infty$ sin cambiar nada, ya que sólo estamos añadiendo ceros.

• En (3) utilizamos la linealidad del coeficiente de y aplicar la regla $[z^{p-q}]A(z)=[z^p]z^qA(z)$ .

• En (4) utilizamos la expansión en serie geométrica.

• En (5) hacemos algunas simplificaciones.

• En (6) a (9) realizamos pasos similares a (1) a (4) en orden inverso.