Mapeo continuo en sí mismo st$f(A) = A$ donde$A$ está cerrado

Question

Deje $f$ ser una asignación continua de Hausdorff no separables espacio de $(X,\tau)$ sobre sí mismo. Demostrar que no existe un adecuado no vacío, cerrado subconjunto $A$ $X$ tal que $f(A) = A$.

[ Sugerencia: Deje $x_0 \in X$ y definir un conjunto $S = \{x_n : n \in \mathbb{Z}\}$ tal que $x_{n+1} = f(x_n)$ para cada entero n ]

Es el resultado anterior true si $(X,\tau)$ es separable? (Justifique su respuesta.)

Me pueden encontrar algunos ejemplos de este tipo de mapas y conjuntos cerrados.

Deje $f$ ser una función continua:

$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ $$f(x) = -x$$

y deje $A = \{-1, 1\}$. A continuación, $A$ es cerrado, adecuado y no vacío y $f(A) = A$.

Necesito un poco de ayuda con la general de la prueba. Si en algún momento $f(x_n) = x_0$, a continuación, secuencia $\{f(x_n)\}$ es finito y cerrado. De lo contrario, es infinito contable. No puede adivinar cómo utilizar la no-separabilidad aquí ...

Answer 1

Dejar $A=\overline{\{x_n\,|\,n\in\mathbb{N}\}}$. Como$X$ no es separable,$A\neq X$. Por otro lado,$A$ está cerrado y$f(A)=A$.

Por otro lado, si$S^1=\{z\in\mathbb{C}\,|\,|z|=1\}$ y$f\colon S^1\longrightarrow S^1$ está definido por$f(z)=e^{i\theta}z$, donde$\theta\in\mathbb R$ es tal que$\frac\theta\pi\notin\mathbb Q$, entonces no existe tal$A$ %

Answer 2

Puede elegir como$A=cl(S)$ y en este caso su conjunto está cerrado y es correcto (y obviamente no está vacío) porque si$cl(S)=A=X$ que X es separable ($S$ es un conjunto contable) y así $A\neq X$

Ahora probamos que$f(A)=A$:

$f(S)=S$ y así$ f(A)=f(cl(S))\subset cl(f(S))=cl(S)=A$ y para el otro lado puede usar la propiedad$T_2$