Cuando $x\sim N_k(\mu,\Sigma)$ es una distribución normal multivariante, $A$ es una matriz simétrica, cómo puedo Mostrar $$\text{cov}(x, x^TAx) = 2\Sigma A\mu$ $
Respuesta
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Escrito $$z=x-\mu,$$ we see that $z \sim \mathcal{N}(0,\Sigma).$ Using the bilinearity of the covariance operator repeatedly, make the substitution $x=z+\mu$ y (sin pensar) calcular
$$\eqalign{ \operatorname{Cov}(x, x^\prime Una x) &= \operatorname{Cov}(z+\mu\ (z+\mu)^\prime (z+\mu))\\ &= \operatorname{Cov}(z,\ z^\prime z + \mu^\prime z + z^\prime \mu + \mu^\prime \mu) \\ &= \operatorname{Cov}(z, z^\prime z) + \operatorname{Cov}(z, \mu^\prime z) + \operatorname{Cov}(z, z^\prime \mu) + 0. }$$
El primero de los tres términos se debe evaluar a $0$ porque es la expectativa de un homogénea impar polinomiales de orden en los componentes de $z.$ La simetría de la distribución ($-z$ también tiene un $\mathcal{N}(0,\Sigma)$ distribución) muestra esta expectativa es igual a su negativa, donde-ya que es finito--sólo puede ser cero.
Para el segundo plazo del uso de la identidad (a menudo se toma como la definición)
$$\operatorname{Cov}(u, v) = E(uv^\prime) - E(u)E(v)^\prime$$
para que el vector de valores de variables aleatorias $u$$v$, de donde (desde $E(z)=0$) obtenemos
$$\operatorname{Cov}(z,\ \mu^\prime A z) = E(z\ (\mu^\prime A z)^\prime) = E(z\ z^\prime A^\prime \mu) = E(zz^\prime)A^\prime\mu = \Sigma A^\prime \mu.$$
Para la tercera, tenga en cuenta que $z^\prime A\mu$ $1\times 1$ de la matriz y por lo tanto es igual a su propia transposición, de donde
$$\operatorname{Cov}(z, z^\prime A\mu) = E(z\ z^\prime A\mu) = E(zz^\prime)A\mu = \Sigma A \mu.$$
Finalmente, la simetría de $A$ $A=A^\prime,$ conlleven
$$\operatorname{Cov}(x, x^\prime A x) = 0 + \Sigma A^\prime \mu + \Sigma A \mu + 0 = \Sigma(A^\prime+A)\mu = 2\Sigma A \mu.$$
