Cómo calcular la integral$\int_{0.5}^{1} \frac{1}{\sqrt{2x-x^2}}$?

Question

Tengo el siguiente problema de integración:

$$ \int_{0.5}^{1} \frac{1}{\sqrt{2x-x^2}} $$

Y puedo ver que probablemente debería ser completando el cuadrado aquí. ¿Yo puedo faltar algo muy obvio, pero no significa esto que tengo que tomar la negativa fuera de la expresión para ello? Necesito el $x^2$ término por sí mismo, no?

¡Cualquier ayuda sería mucho apreció!

Answer 1

Tenga en cuenta que$$2x - x^2 = 1 - (1 - 2x + x^2) = 1 - (1-x)^2 \, .$ $ Ahora puede usar una sustitución de trigonometría.

Answer 2

Determinado $\int_{0.5}^{1}\dfrac{1}{\sqrt{2x-x^2}}dx$

Aplicar $$=\int\frac{1}{\sqrt{1-(x-1)^2}}dx$ $ $u$ sustitución $u=x-1$ $$\int\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}du=\arcsin(u)=\arcsin(x-1)$ $Now aplicar los límites $$=\Bigl[\arcsin (x-1)\Bigr]_{0.5}^1=\frac{\pi}{6}$ $

Answer 3

No hay ninguna función hiperbólica aquí.

Set $$ t = \sqrt {\frac {x} {2 x}} $$ $(2-x)t^2=x$ y $$ x = \frac {2t ^ 2} {1 + t ^ 2} = \frac {2t ^ 2 +2-2} {1 + t ^ 2} = 2-\frac {2} {1 + t ^ 2} $$ donde $$ dx = \frac {4t} {(1 + t ^ 2) ^ 2} $$ y la integral se convierte en\begin{align} \int{1/2}^1\frac{1}{2x-x^2}\,dx &=\int{1/2}^1\frac{1}{x}\sqrt{\frac{x}{2-x}}\,dx \[4px] &=\int{1/\sqrt{3}}^{1}\frac{1+t^2}{2t^2}t\frac{4t}{(1+t^2)^2}\,dt \[4px] &=2\int{1/\sqrt{3}}^1\frac{1}{1+t^2}\,dt \[4px] &=2\Bigl[\arctan t\Bigr]_{1/\sqrt{3}}^1 \[4px] &=2\frac{\pi}{4}-2\frac{\pi}{6} \[4px] &=\frac{\pi}{6} \end {Alinee el}