Comprendiendo el valor absoluto de una matriz.

Question

Creo que el valor absoluto de una matriz se define como $$|A|=\sqrt{A^{\dagger}A} \ .$$ Pero la raíz cuadrada de una matriz no es única, Wikipedia da una lista de ejemplos para ilustrar esto.

Para entender esto, ¿cómo se calcula el valor absoluto de: $$A=\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & -1\end{pmatrix}$$ Claramente $A^{\dagger}=A$ entonces $|A|=\sqrt{A^2}$, pero esto no es necesariamente $A$. En este caso quiero elegir la identidad, ya que los autovalores de $|A|$ son ambos 1 (y eran $\pm1$ para $A$). Pero las matemáticas no se trata de lo que yo quiero. Entonces, ¿qué es $|A|$? ¿Está bien definido? Y cómo realizo esta operación en general, ya que mi aplicación para esto es, por supuesto, mucho más compleja.

Answer 1

Si $D$ es una matriz diagonal con términos positivos, entonces la raíz cuadrada positiva, $\sqrt D$ está determinada de forma única por la matriz diagonal de raíces cuadradas positivas de los términos diagonales.

Si una matriz $A$ es diagonalizable con eigenvalores positivos entonces $A= P^{-1}DP$ y podemos definir su raíz cuadrada positiva como $\sqrt A= P^{-1} \sqrt D P$

Por lo tanto, no hay confusión al encontrar el valor absoluto de $A$ si consideramos solo raíces cuadradas positivas.