Resuelve la ecuación diferencial$x^5\frac{d^2y}{dx^2}+3x^3\frac{dy}{dx}+(3-6x)x^2y=x^4+2x-5$

Question

Resolver la siguiente ecuación diferencial: $$x^5\frac{d^2y}{dx^2}+3x^3\frac{dy}{dx}+(3-6x)x^2y=x^4+2x-5$$

En la solución de la pregunta que el autor está tratando de convertirlo en una exacta la ecuación diferencial multiplicando $x^m$ y la comparación de la ecuación dada a $$P_{0}y''+P_{1}y'+P_{2}y=\phi(x)$$

Para hacerlo exacto intentó $P_{2}-P_{1}'+P_{0}''=0$ cómo es que llegar a esta ecuación ?

También sobre el uso de esta ecuación para un valor de $m$ fue derivado y sustituido , a continuación, la primera integral se hizo.

Mi pregunta es ¿qué es exactamente la primera integral y cómo es relevante en la solución de ecuación diferencial ordinaria . Si alguien me puede orientar a una buena fuente o enlace estaría agradecido

También el método que se muestra arriba es un método estándar de resolución de la educación a distancia ? si sí podría usted por favor hágamelo saber el nombre o el link de una fuente de donde puedo leer este método.

Answer 1

La idea es escribir la ecuación como

ps

donde$$ (Ay' + By)' = \phi $son funciones de$A,B$, por lo que el problema se reduce a una ecuación de primer orden luego de la integración.

Expandiendo la derivada, obtenemos

ps

Comparando coeficientes

$$\begin{align} P_0 &= A \\ P_1 &= A' + B \\ P_2 &= B' \end{align}$$

Por lo tanto, debe ser cierto que

ps

Obviamente, solo un conjunto muy específico de funciones de coeficientes$x$ satisfará esto. Esa es una pregunta a la que no tengo respuesta.

Answer 2

Insinuación:

$x^5\dfrac{d^2y}{dx^2}+3x^3\dfrac{dy}{dx}+(3-6x)x^2y=x^4+2x-5$

$x^3\dfrac{d^2y}{dx^2}+3x\dfrac{dy}{dx}-(6x-3)y=x^2+\dfrac{2}{x}-\dfrac{5}{x^2}$

Dejar $y=x^nu$ ,

Entonces $\dfrac{dy}{dx}=x^n\dfrac{du}{dx}+nx^{n-1}u$

$\dfrac{d^2y}{dx^2}=x^n\dfrac{d^2u}{dx^2}+nx^{n-1}\dfrac{du}{dx}+nx^{n-1}\dfrac{du}{dx}+n(n-1)x^{n-2}u=x^n\dfrac{d^2u}{dx^2}+2nx^{n-1}\dfrac{du}{dx}+n(n-1)x^{n-2}u$

$\therefore x^3\left(x^n\dfrac{d^2u}{dx^2}+2nx^{n-1}\dfrac{du}{dx}+n(n-1)x^{n-2}u\right)+3x\left(x^n\dfrac{du}{dx}+nx^{n-1}u\right)-(6x-3)x^nu=x^2+\dfrac{2}{x}-\dfrac{5}{x^2}$

$x^{n+3}\dfrac{d^2u}{dx^2}+2nx^{n+2}\dfrac{du}{dx}+n(n-1)x^{n+1}u+3x^{n+1}\dfrac{du}{dx}+3nx^nu-(6x-3)x^nu=x^2+\dfrac{2}{x}-\dfrac{5}{x^2}$

$x^{n+3}\dfrac{d^2u}{dx^2}+x^{n+1}(2nx+3)\dfrac{du}{dx}+x^n((n(n-1)-6)x+3n+3)u=x^2+\dfrac{2}{x}-\dfrac{5}{x^2}$

Elija$n=3$, el ODE se convierte

$x^6\dfrac{d^2u}{dx^2}+x^4(6x+3)\dfrac{du}{dx}+12x^3u=x^2+\dfrac{2}{x}-\dfrac{5}{x^2}$

$x^3\dfrac{d^2u}{dx^2}+x(6x+3)\dfrac{du}{dx}+12u=\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{x^4}-\dfrac{5}{x^5}$

Dejar $t=\dfrac{1}{x}$ ,

Entonces $\dfrac{du}{dx}=\dfrac{du}{dt}\dfrac{dt}{dx}=-\dfrac{1}{x^2}\dfrac{du}{dt}=-t^2\dfrac{du}{dt}$

$\dfrac{d^2u}{dx^2}=\dfrac{d}{dx}\left(-t^2\dfrac{du}{dt}\right)=\dfrac{d}{dt}\left(-t^2\dfrac{du}{dt}\right)\dfrac{dt}{dx}=\left(-t^2\dfrac{d^2u}{dt^2}-2t\dfrac{du}{dt}\right)\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)=\left(-t^2\dfrac{d^2u}{dt^2}-2t\dfrac{du}{dt}\right)(-t^2)=t^4\dfrac{d^2u}{dt^2}+2t^3\dfrac{du}{dt}$

$\therefore\dfrac{1}{t^3}\left(t^4\dfrac{d^2u}{dt^2}+2t^3\dfrac{du}{dt}\right)-\dfrac{1}{t}\left(\dfrac{6}{t}+3\right)t^2\dfrac{du}{dt}+12u=t+2t^4-5t^5$

$t\dfrac{d^2u}{dt^2}-(3t+4)\dfrac{du}{dt}+12u=t+2t^4-5t^5$

Por $t\dfrac{d^2u}{dt^2}-(3t+4)\dfrac{du}{dt}+12u=0$ ,

Tiene la solución trivial$u=e^{3t}$.

Luego resuélvelo por reducción de orden.