Dejar, $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1& 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$ . Entonces busca $ S= \{B \in M_{3\times3}(\Bbb R) :AB=BA\}$ .

Question

Dejar, $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1& 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$ . Entonces estaba tratando de encontrar$ S= \{B \in M_{3\times3}(\Bbb R) :AB=BA\}$.

Mi intento:

El cálculo simple arrojó$\{B\in M_{3\times3}(\Bbb R) : B = \begin{bmatrix} c_1 & c_2 & 0 \\ c_3 & c_4& 0 \\ 0 & 0 & c_5 \end{bmatrix} , c_1,c_2,c_3,c_4,c_5 \in \Bbb R\} \subseteq S$ pero estoy teniendo problemas para mostrar la inclusión inversa (¡si es verdad!).

También tuve la tentación de utilizar valores propios y espacios propios para llegar a una conclusión al observar la forma diagonal de$A$ (que muestra sus valores propios), ¡pero no puedo abrirme camino!

Gracias de antemano por la ayuda.

Answer 1

Sí, la inclusión inversa es verdadera. Tenga en cuenta que si$$B=\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\end{pmatrix},$$then$$AB-BA=\begin{pmatrix}0&0&2b_{13}\\0&0&2b_{23}\\-2b_{31}&-2b_{32}&0\end{pmatrix}.$$Therefore, $ AB = BA$ if and only if $ b_ {13} = b_ {23} = b_ {31} = b_ {32} = 0 $.