He estado buscando problemas sencillos en Internet para mejorar mi dominio de los fundamentos del análisis elemental. No estoy seguro de cuánto contexto debo incluir para que esta pregunta se entienda, así que lo incluiré todo; mi pregunta estará al final del mensaje si los detalles no son necesarios y quieres saltar a ella.
He encontrado el siguiente problema y he pensado en dos formas de resolverlo:
$\textbf{Problem}$ : Una función de valor real $f$ en un intervalo cerrado y acotado $[a,b]$ se dice que es semicontinuo superior siempre que para cada $\epsilon>0$ y cada $p\in[a,b]$ hay un $\delta=\delta(\epsilon,p)>0$ tal si $x\in[a,b]$ y $|x-p|<\delta$ entonces $f(x)<f(p)+\epsilon$ . Demostrar que una función semicontinua superior está acotada por encima en $[a,b]$ .
$\underline{\text{First Proof}}$ : El argumento es por contradicción. Supongamos que $f$ no está acotada por encima. Entonces, para cada $n\in\mathbb{N}$ existe $x_n$ tal que $f(x_n)>n$ . Dado que la secuencia $(x_n)$ está acotada, contiene una subsecuencia convergente, $(x_{n_k})$ convergiendo a algún $x^*\in[a,b]$ . Dado $\epsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que para todo $x$ satisfaciendo $|x-x^*|<\delta$ tenemos $f(x)<f(x^*)+\epsilon$ . Existe $K$ tal que para todo $k\geq K$ tenemos $|x_{n_k}-x^*|<\delta$ de modo que $f(x_{n_k})<f(x^*)+\epsilon$ para todos $k\geq K$ . Esto es una contradicción, ya que debemos tener $f(x_{n_k})>n_k\geq k$ para todos $k$ .
$\underline{\text{Second Proof}}$ : Dado un $\epsilon >0$ el conjunto de intervalos abiertos $$\mathcal{O}=\big\{(p-\delta_{\epsilon,p}, p+\delta_{\epsilon,p}): p\in [a,b]\big\}$$ forma una cubierta abierta de $[a,b]$ . Heine-Borel garantiza la existencia de una subcubierta finita: $$[a,b] \subset \bigcup^{n}_{i=1}(p_i-\delta_{\epsilon,p_i}, p_i+\delta_{\epsilon, p_i}).$$ Sea $f(p^*)=\max \{f(p_1),f(p_2),...,f(p_n)\}$ . Entonces $f(x)<f(p^*)+\epsilon$ para todos $x\in [a,b]$ de modo que $f(p^*)+\epsilon$ sirve como límite superior para $f$ en $[a,b]$ .
Después de hacer la segunda prueba y releer la primera, me he dado cuenta (suponiendo que las pruebas sean correctas): Ambas se basan en la compacidad del intervalo $[a,b]$ . La primera prueba utiliza la caracterización secuencial de la compacidad; la segunda utiliza la definición de subcubierta finita de la compacidad.
me preguntaba: ¿Puedo usar la caracterización secuencial para obtener una prueba directa? No veo cómo hacerlo, y dudo que se pueda. Así que esta es mi pregunta: Si una prueba directa realmente $\textit{isn't}$ posible con la caracterización secuencial, ¿hay alguna razón más profunda para ello? ¿Sugiere esto alguna diferencia subyacente entre la caracterización secuencial y la definición de subcubierta abierta finita?
En términos más generales, es imposible no darse cuenta de que a menudo existen varias caracterizaciones equivalentes de un mismo concepto en análisis (por ejemplo, el $\epsilon$ - $\delta$ frente a las definiciones secuencial y de conjunto abierto de la continuidad), y a veces una es más apropiada que otra. Si ocurre que para un problema o un teorema dado, una caracterización de un concepto sólo permite una demostración indirecta mientras que otra caracterización permite una demostración directa, ¿hay siempre alguna razón para ello? ¿Nos dice esto algo significativo sobre las diferencias entre las caracterizaciones, o sobre qué supuestos subyacen a las distintas caracterizaciones?
Espero que esta pregunta tenga sentido. Por favor, cambie la etiqueta si otra es más apropiada.
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Teoremas como el que has mencionado son consecuencias inmediatas de la completitud de los números reales. Y puede echar un vistazo a diversas formas de exhaustividad .