Intuitivamente, ¿qué exactamente es la ecuación de la elipse?

Question

Puedo obtener la forma de obtener la elipse de ecuación, pero estoy tratando de entender lo que significa de manera intuitiva.

Como se ve, un círculo ecuación puede ser entendido de manera muy intuitiva. El círculo de modelos de ecuaciones de cómo el radio del círculo puede ser representado usando el teorema de Pitágoras. Pero no entiendo lo de la elipse de ecuación significa que en ese nivel. Qué modelo de cómo una elipse se puede extraer mediante un estira de la cuerda? ¿En qué modelo? Por favor alguien puede explicar?

¿Puede por favor explicar de la forma más simple posible, como todavía soy un principiante?

Answer 1

No hay una sola ecuación de una elipse, así como no existe una única ecuación para una línea. Elegimos un formulario para resaltar la información de interés en el contexto actual.

Considere la posibilidad de este muestreo de maneras de escribir la ecuación de una recta:

$$\begin{array}{rcccl} \text{slope-intercept} &\qquad& y = m x + b &\qquad& \begin{array}{rl} m:&\text{slope} \\ b:&y\text{-intercept} \end{de la matriz} \\[8pt] \text{intercepto intercepto} && \dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1 && \begin{array}{rl} a:& x\text{-intercept} \\ b:& y\text{-intercept} \end{de la matriz} \\[8pt] \text{normal} && x \cos\theta + y\sin\theta = d && \begin{array}{rl} \theta:& \text{direction of normal} \\ d :&\text{distance from origin} \end{de la matriz}\\[8pt] \text{punto-pendiente} && y-y_1= m (x-x_1) && \begin{array}{rl} (x_1,y_1):&\text{point on line} \\ m:&\text{slope} \end{de la matriz} \\[8pt] \text{dos-punto} && \dfrac{y-y_1}{x-x_1}=\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2} && \begin{array}{rl} (x_i,y_i):&\text{points on line} \end{de la matriz}\\[8pt] \text{estándar/general} && A x + B y + C = 0 && \end{array}$$

Cada formulario, nos dice algo acerca de la línea de la geometría. (El "general" forma nos dice que la línea de la geometría es importante.) El álgebra nos permite pasar de una forma a otra si y cuando nuestras prioridades cambian.

Tenga en cuenta que, dado que todas las formas de representar la misma línea, se debe codificar la misma información geométrica de alguna manera. Las codificaciones no son siempre limpio y ordenado, aunque. Por ejemplo, podemos manipular la forma general en la forma pendiente-intercepto ... $$A x + B y + C = 0 \qquad\to\qquad y = - \frac{A}{B} x - \frac{C}{B}$$ ... a ver que la línea de la pendiente del es $-A/B$, y su $y$intercepto es $-C/B$. La conversión de interceptar-intercepto nos dice que el $x$intercepto es $-C/A$. Por otra parte, podemos determinar la pendiente a partir de la intersección-intercepto, o la dirección de la normal a partir de dos puntos a la forma, ... lo que sea. Tener los distintos formularios disponibles nos da flexibilidad en la forma en que presentamos la información. Pero estoy divagando ...

Así mismo, disponemos de un muestreo de ecuacional formas para una elipse.

$$\begin{array}{rcl} \text{foci and string} & \begin{align} \sqrt{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2} \qquad&\\ + \sqrt{(x-x_2)^2+(y-y_2)^2} &= 2 a \end{align} & \begin{array}{rl} (x_i,y_i):&\text{foci} \\ 2a:&\text{string length} \end{de la matriz} \\[10] \text{estándar} & \dfrac{(x-x_0)^2}{a^2} + \dfrac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1 & \begin{array}{rl} (x_0,y_0):&\text{center} \\ a:&\text{horizontal radius} \\ b:&\text{vertical radius} \end{de la matriz}\\[10] \text{foco-directriz} & \begin{array}{c} \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2} \\ \qquad\qquad\qquad = e\;\dfrac{| a x + b y + c |}{a^2+b^2} \end{array} y \begin{array}{rl} (x_0,y_0):&\text{focus} \\ ax+by+c=0:&\text{directrix} \\ e:&\text{eccentricity} \end{de la matriz}\\[10] \text{general} & x^2 + B xy + C y^2 + D x + E y + F = 0 & \end{array}$$

Los "focos de interés y de la cadena" la forma es el directo (me atrevo a decir, "intuitiva"?) la traducción de los focos y de la cadena de definición de la elipse: la suma de las distancias desde dos puntos es una constante. Tendemos a no ver que la forma de excepción como el punto de partida en una expresión algebraica viaje a la "norma". Eso es porque (1) el gigante de expresiones radicales son voluminosos, y (2) la forma estándar ofrece mucho más de una mirada capaz de obtener información acerca de la geometría de la elipse, y tiene una mejor algebraica de la naturaleza.

El resultado es que tenemos una ecuación para cada forma de mirar a una elipse, por lo que todo el mundo de la intuición está satisfecho. Y, de nuevo, tener múltiples formas disponibles nos da flexibilidad en cómo queremos codificar o presente la información geométrica que nos resulte más importante para la tarea a mano.

---

Como un aparte, voy a notar que el menos usado foco-directriz forma de la ecuación es más versátil que la forma estándar, ya que funciona para cada sección cónica (excepto el círculo). En particular, puede ser conveniente recordar que una parábola (que tiene excentricidad $1$) esta ecuación:

$$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2 = ( x\cos\theta + y\sin\theta -d )^2$$ donde hemos aprovechado la forma normal de la ecuación de la directriz para hacer las cosas más ordenado.

Answer 2

(Esto realmente debe ser un comentario, pero yo necesitaba más espacio, disculpas).

Usted parece pensar (la lectura de los comentarios anteriores) que la elipse de ecuación "instruir" a nosotros, en un paso a paso, cómo dibujar la elipse. Que no tiene que ser el caso.

De hecho, nos vamos a inventar una nueva relación entre el$x$$y$:

$e^x-y=\sin\left(x\cdot y\right)$

Hay puntos de $(x,y)$ en el plano que satisfacen la ecuación anterior y se alinean en una curva podríamos llamar un zwiggle. Ver el WolframAlpha gráfico o tratar de Desmo o algo similar, si usted es curioso lo que parece.

Es obvio lo que forma zwiggles parece? No. ¿Tiene que ser? No. Así que... ¿qué es un zwiggle? Es sólo el conjunto de puntos que satisfacen $e^x-y=\sin(x\cdot y)$.

Ahora, es obvio lo que la curva conseguimos con:

$\dfrac{(x-2)^2}{81}+\dfrac{(y+1)^2}{25}=1$

Así, para un ojo entrenado, podría ser obvio que es una elipse centrada en $(2,-1)$ con eje horizontal de la longitud de la $18$ y el eje vertical de longitud $10$ pero de lo contrario, si usted no reconoce la ecuación de una elipse, usted puede decirle a usted que la relación codifica un montón de puntos en el plano. Ese "montón de puntos" es en realidad el lugar geométrico de la ecuación. Y en este caso, el lugar geométrico es tan popular que tiene un nombre (elipse). Se da la circunstancia de que la elipse de ecuación en relación a su forma es algo menos intuitivo que el círculo, pero más intuitivo que el zwiggle.

Sé que esto no acaba de responder a tu pregunta (y como dije, esto debe ser un comentario), pero otros ya han publicado un montón de información útil acerca de elipses que debería darle una mejor intuición. Sólo espero que esto le ayuda a ver que a veces, la matemática de las relaciones realmente no traducir a algo "geométricamente obvio" y usted sólo tiene que pensar de la curva como algo más abstracto.

Answer 3

Puede derivar la ecuación para elipse de la ecuación de círculo escalando su$x$ y$y$

ps

Deje$$ x^2 + y^2 = R^2 $ $

Obtienes$$x\to x/a,\text {and } y\to y/b$ $

$$ (x/a)^2 + (y/b)^2 = R^2 $ $$$ (\frac {x}{aR})^2 + (\frac {y}{bR})^2 = 1 $ $

Answer 4

He mencionado en mi respuesta anterior que los "focos y la cadena de la" forma de la elipse de ecuación es rara vez visto "excepto como el punto de partida en una expresión algebraica viaje a la "norma " forma". Quiero elaborar un poco más sobre que "algebraica de viaje".

Normalmente, el viaje implica un montón de unenlightening, mecánico de símbolos presionando para eliminar las raíces cuadradas. En concreto, la definición $$d_i := \sqrt{(x-x_i)^2+(y-y_i)^2}$$ el argumento tiende a ser algo como esto: $$\begin{alignat}{2}\quad && d_1 + d_2 &= 2 a \qquad\text{(definition: sum of distances to foci is constant)} \tag{$\estrella de$} \ \ \\quad && (d_1 + d_2)^2 &= (2)^2 \\[4pt] \a\quad && d_1^2 + 2 d_1 d_2 + d_2^2 &= 4^2 \\[4pt] \a\quad && 2 d_1 d_2 &= 4^2 - d_1^2 - d_2^2 \\[4pt] \a\quad && (2d_1d_2)^2 &= ( 4^2-d_1^2-d_2)^2 \\[4pt] \a\quad && 0 &= d_1^4+d_2^4+16a^4-2d_1^2d_2^2-8a^2d_1^2-8a^2d_2^2 \etiqueta{$\star\star$} \end{alignat}$$ de modo que $(\star\star)$ contiene sólo los poderes de la $d_i$, por lo tanto: no radicales. ¡Misión cumplida! Sustitución de la $d_i$ (en particular, con $(x_i,y_i) = (\pm c,0)$, y la definición de $b^2 := a^2-c^2$), la ecuación de $(\star\star)$ simplifica (ver más abajo) para el origen centrado en la forma estándar de la ecuación todos sabemos y el amor.

Creo que el OP está decepcionado de que, en algún lugar a lo largo de la tedioso viaje de$(\star)$$(\star\star)$, perdemos de vista de la $(\star)$.

Sin embargo, todavía es posible echar un vistazo a $(\star)$$(\star\star)$, debido a $(\star\star)$ factores:

$$(d_1+d_2-2a)(d_1-d_2-2a)(-d_1+d_2-2a)(d_1+d_2+2a) = 0 \tag{$\estrellas\estrellas\estrella de$}$$

(El lector puede ver una semejanza a la fórmula de la Garza en la anterior.)

Desde $(\star)$ es justo ahí en el primer factor, el conjunto de puntos de satisfacciones $(\star\star\star)$ debe incluir aquellos satisfacer $(\star)$ el (bueno, uno) definición de la elipse.

Tenga en cuenta que el último factor de $(\star\star\star)$ no contribuye con los puntos, ya que presumiblemente $a > 0$$d_i \geq 0$.

Curiosamente, la media de los factores de $(\star\star\star)$ corresponden a las relaciones de los $$d_1 - d_2 = 2a \quad\text{or}\quad d_2 - d_1 = 2a \qquad\qquad\text{i.e.,}\quad |d_1-d_2| = 2a$$ que decir, precisamente, que la diferencia de distancias a los focos es constante: el (bueno, uno) definición de la hipérbola! (Cada factor corresponde a un brazo de la ostensible hipérbola.)

En consecuencia, $(\star\star)$ es simultáneamente la ecuación de una elipse y una hipérbola de ecuación! Excepto, no exactamente. La gráfica del conjunto solución es sólo uno o el otro, según lo determinado por $a$'s relación a la distancia entre los focos. Para ser más específicos, vamos a hacer la simplificación insinuado anteriormente: tome $(x_i,y_i) = (\pm c,0)$, por lo que el $(\star\star)$ se convierte en $$16 \left(\;a^2 (a^2 - c^2) - x^2(a^2-c^2) - a^2 y^2\;\right) = 0 \qquad\to\qquad \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2-c^2} = 1$$ Vemos, entonces, que cuando la $a > c$ ---de manera que la suma de las distancias a los focos es mayor que la distancia entre los focos de sí mismos--- la ecuación es la de una elipse; en $(\star\star\star)$, el segundo y tercer factores no puede ser cero. Por otro lado, cuando se $a < c$, la ecuación es la de una hipérbola; el primer factor de $(\star\star\star)$ no puede ser cero. (Exploración de las degeneraciones derivadas de $a=c$ se deja como ejercicio para el lector.)

---

De todos modos, mi punto es este: podemos llegar a $(\star\star)$ $(\star)$ por andar a través de la secuencia de pasos algebraicos que oscurecen la geometría; o, que puede llegar a $(\star\star)$ por "racionalizar" $(\star)$ a través de la multiplicación por lo que se podría llamar su "Heronic conjugada", los tres factores de los cuales son geométricamente significativa (aunque uno es inherentemente extraños). Y obtenemos la ecuación de la hipérbola gratis ... porque es la misma ecuación!

Un poco aseado, que.

Answer 5

Lo más importante a tener en cuenta es que la longitud de la cuerda no cambia. Esto significa que básicamente modela todos los puntos cuya "suma de distancias desde los dos puntos fijos dados" no cambia.

Decir$A$ y$B$ son los puntos fijos y$L$ es la longitud de la cuerda, luego el punto P traza la curva dada por la ecuación:$$\text{(distance between P and A)} + \text{(distance between P and B)}= L$ $

Intente enchufar$P = (x,y)$,$A = (-c,0)$ y$B=(c,0)$ y vea lo que obtiene.