Encuentra el área mayor de un rectángulo dentro de un segmento circular de $\frac{2\pi}{3}$ .

Question

¿Cuál es la mayor área de un rectángulo dentro de un segmento circular de $\frac{2\pi}{3}$ y el radio $r$ ? Un lado del rectángulo se encuentra en la cuerda del círculo. Queremos una solución geométrica (a diferencia de la geometría analítica o la trigonometría).

Si $r$ es el radio, entonces el rectángulo tiene una "elevación" de $\frac{r}{2}$ por encima del $x$ eje. Si $A$ es el vértice superior derecho del rectángulo y $O$ el centro del círculo, también $\theta$ el ángulo de $OA (= r)$ con el $x$ eje, entonces el área es $$2r\cos (r\sin -\frac{r}{2})$$ No se me ocurre ninguna solución puramente geométrica.

Answer 1

Sólo quería decir a los geómetras optimistas que hay por ahí que este es el valor del área máxima cuando $r=1$ según Wolfram Alpha:

$$2 \\ \times \\ \left(1-\frac{2}{\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\left(\sqrt{2\left(9-\sqrt{33}\right)}-\sqrt{33}\right)\right)^2+1}\right) \\ \times \\ \left(\frac{2\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\left(\sqrt{2\left(9-\sqrt{33}\right)}-\sqrt{33}\right)\right)}{\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\left(\sqrt{2\left(9-\sqrt{33}\right)}-\sqrt{33}\right)\right)^2+1}+\frac{1}{2}\right)$$

¿Qué nos dice esto? Para empezar, que no lo hace nos dicen que una solución puramente geométrica es imposible. $_{_\text{However, we do learn that $ +100 $ rep isn't worth the challenge.}}$

Answer 2

Todavía haciendo trampa - usando la ecuación cuadrática para $\sin\theta$ ,

$$\begin{align} \sin^2\theta-\tfrac14\sin\theta-\tfrac12&=0 \tag{1}\label{1} , \end{align}$$
pero las raíces se encuentran a partir de sus coeficientes por el antiguo método geométrico como sigue.

1. Punto $H$ es $r$ unidades a la derecha del centro $O$ .

2. Punto $U$ es $r/4$ unidades por encima del $H$ .

3. Punto $V$ es $r/2$ unidades a la derecha de $U$ .

4. Punto $W$ es el centro del círculo, $|OW|=|WV|$

5. Las intersecciones de ese círculo con la línea vertical $UH$ da dos puntos, $X_+$ y $X_-$ , cuyo $y$ -son las raíces de $\eqref{1}$ escaladas por $r$ , y el $y$ -coordenadas del punto $X_+$ es la coordenada buscada $A_y$ .

Answer 3

¿Qué le hace suponer que una construcción geométrica es posible en absoluto?

De todos modos tratando de encontrar la maximización del área por la diferenciación de

$$\frac{A}{r^2} = \cos \theta\cdot ( 2 \sin \theta -1)$$

que da como resultado la solución del área máxima del rectángulo

$$\sin \theta=\frac{\sqrt{33}+1} {8}$$

Una reconstrucción geométrica por ese conocimiento previo ya suena a trampa.

La potencia del gran círculo dibujado es $33$

No obstante, se ofrece un esquema de construcción geométrica. Los diámetros de los círculos no están dibujados a propósito porque las líneas estrechas no mostrarían los detalles ... el ángulo recto $TQP$ ni siquiera se ve en ángulo recto en $P$ . Sin embargo, se puede hacer un esquema de Geogebra.

Requerido $\theta$ es $\angle TQP$ del triángulo verde/rojo.