la ubicuidad, la importancia de la ruta de álgebras de

Question

Yo trabajo en el plano álgebras y subfactores, donde la idea de la ruta de álgebras en un gráfico (también conocido como gráfico de álgebras, gráfico planar álgebras, etc.) es bastante útil. El resultado particular que estoy pensando es en una próxima resultado de Jones y algunos otros; se dice que cualquier subfactor plana de álgebra se puede encontrar dentro de los planos de álgebra de sus principales gráfico. Si usted no está en subfactores/plano de álgebras, la importancia de este resultado es que dice usted conoce a un lugar concreto para comenzar la búsqueda de un determinado objeto abstracto.

En Birge Huisgen-Zimmermann a hablar sobre el carcaj a la AMS de la reunión en Riverside el pasado fin de semana, me encontré con lo que parecía ser un resultado similar: Gabriel del teorema, que dice que cualquier finito-dimensional álgebra es equivalente (Morita equivalente creo?) para una ruta de álgebra modulo algunas relaciones. (Como lo que yo puedo decir, "aljaba" es una palabra elegante para una dirigida finito gráfico). También sé que, aunque no sé por qué, que la ruta de álgebras se utilizan, en particular, la construcción en la C*-álgebras. Esto me puso a pensar:

1. ¿Cuáles son algunos otros lugares que la ruta de álgebras de aparecer, y ¿para qué se usan?

2. ¿Por qué es esta idea tan útil en estos diferentes campos? Es simplemente que la ruta de álgebras son un lugar conveniente para hacer los cálculos? O es que hay alguna razón filosófica ruta de álgebras son importantes?

Answer 1

Como lo que yo puedo decir, "aljaba" es una palabra elegante para una dirigida finito gráfico

Sí. No tiene que ser finito.

O es que hay alguna razón filosófica ruta de álgebras son importantes?

Una gran aplicación de la ruta de álgebras últimamente es la ruta de acceso de álgebra de un temblor de Dynkin tipo. Siguiendo las ideas de Lusztig y Ringel, la representación de las variedades de estos tiembla son un método principal para categorify los grupos cuánticos. Una gran parte del interés en el carcaj es este propósito específico, o generalizaciones de las características de esta aplicación. Lusztig de artículos y en su libro son una gran revelación.

Answer 2

Usted también tiene el más nuevo campo de Leavitt Ruta de Álgebras (en el que yo esté trabajando ahora), donde se toma un campo $K$ y un gráfico dirigido a $E$, de generar sus extendido gráfico de $E'$ (añadir a $E$ sus propios bordes invertidos, que se denota como $e^*$ por cada borde de la $e$), y calcular el Leavitt ruta de álgebra de $E$, $L(E)$, como la ruta de álgebra $KE'$ modulo algunas relaciones llamó la Cuntz-Krieger relaciones, heredado de la $C^*$-álgebras de configuración, concretamente:

(CK1) $e^* f=\delta_{ef}$ para cualquiera de los dos bordes de la $e,f$$E'$.

(CK2) $\sum_{e\in s^{-1}(v)}ee^* = v$ $v$ un vértice que emite un valor distinto de cero número finito de bordes, y $s^{-1}(v)$ el conjunto de los bordes.

(Uno puede mirar (CK1) y (CK2) como un resumen de la generalización de que el producto de la matriz de unidades).

Estas álgebras asociativas nos proporcionan simultáneamente con una puramente algebraica analógico de $C^*$-álgebras de gráfica y una generalización de la Leavitt álgebras (algunos álgebras asociativas que no cumplen con las IBN propiedad).

La matriz completa de los anillos de más de $K$ orden $n$ a continuación, se presentan como Leavitt ruta de álgebras de los gráficos con $n$ (consecutivos) vértices y $n-1$ flechas, uno entre cada par de vértices consecutivos.

Otro ejemplo sencillo de Leavitt camino álgebra es el anillo de polinomios de Laurent más $K$, $K[x,x^{-1}]$, que aparece asociado a la gráfica con un vértice y un solo bucle.

La teoría de la Lpa es útil, e incluso hermoso, porque:

• Ellos proporcionan sencillo, visualmente atractiva y representaciones de conocidos álgebras.

• Ellos nos permiten ver a sus propiedades algebraicas por medio de las propiedades combinatorias de sus correspondientes gráficos. Esto sucede a equiparnos con alguna de las más poderosas herramientas.

• Por el contrario, también permiten "algebraica de la ingeniería", ya que nos dan un sencillo, visual camino para la construcción de nuevas álgebras, personalizadas con cualquier algebraicas o anillo de la teoría de propiedades podemos desear. Por ejemplo, podemos mostrar un álgebra generada por los cinco elementos, de tal manera que es de exchange, pero no puramente innitamente simple, mediante la construcción de una en particular (pequeño) gráfico con algunos (fácil) de teoría de grafos características.

Algunas referencias:

• G. Abrams, G. Aranda Pino. "El Leavitt ruta de álgebra de un gráfico", J. Álgebra 293 (2), 319-334 (2005). (Disponible en http://agt.cie.uma.es/~gonzalo/papers/AA1_Web.pdf).

• P. Ara, M. A. Moreno, E. Pardo. "Nonstable K-Teoría gráfico de álgebras", Álgebra Repr. Th. DOI 10.1007/s10468-006-9044-z (electrónica). (Disponible en http://www.springerlink.com/content/pu701474q5300m63/).

• G. Abrams, G. Aranda Pino, F. Perera, M. Siles Molina. "La cadena de condiciones para Leavitt ruta de álgebras". (Disponible en http://agt.cie.uma.es/~gonzalo/papers/AAPS1_Web.pdf).

• K. R. Goodearl. "Leavitt ruta de álgebras y directa límites", Contemp. De matemáticas. 480 (2009), 165-187.

Answer 3

He mencionado una vez en una charla (a un grupo algebraico de combinatorialists) que "Un carcaj es sólo un grafo dirigido". Una audiencia-miembro pegado a su mano para decir "Un carcaj es un grafo dirigido con pretensiones."

Teoría de la representación de la ruta de álgebras proporciona una forma muy útil para el enfoque de clúster de álgebras de acíclico, clúster de álgebras en particular. A grandes rasgos, para acíclicos clúster de álgebras, el cluster de las variables corresponden a la indecomposable módulos de E y que satisfagan Ext¹(E,E)=0. Esta respuesta está conectado a Greg respuesta (a través de la conexión de clúster de álgebras a Lusztig canónico bases).

Para mí, la ruta de álgebras de aljabas han proporcionado un entorno precioso en el que aprender acerca de álgebra homológica, porque los objetos involucrados son bastante simples que usted pueda entender muy concreta. (Por ejemplo: un indecomposable objeto en el delimitada derivado de la categoría de un camino de álgebra de un carcaj sin orientado ciclos, es una cadena que no es cero en un solo grado. Sin embargo, la categoría todavía tiene un montón de no-trivial (triangular) de la estructura.)

Answer 4

Son también de interés en la geometría no conmutativa. No es este resultado "Si formalmente liso álgebras son los no-conmutativa analogon de colectores, a continuación, la ruta de álgebras de aljabas son no-conmutativa de la versión de afín espacios!" Ver aquí:

http://www.neverendingbooks.org/NEBPDFS/34.pdf

y aquí

http://arxiv.org/abs/math/0406618

Answer 5

Quiero decir algo como, "tiembla (de las relaciones) son finitely generado unital álgebras de más de $k^{\oplus n}$ ", pero es bastante vacuo, y estoy a punto de dirigirse al aeropuerto, así que no tengo tiempo para pensar realmente a través de ella.

En la física, que es más o menos la situación, una vez que le tiran en la palabra gradual (es fácil de probar una versión de Gabriel del teorema en este caso). Tiembla surgir cuando se tiene un conjunto finito de objetos en un (pretriangulated dg-/${}_\infty$/estable infinito/nidos/lo que sea) de la categoría de D-branes, y el endomorfismo de álgebra de la suma de estos objetos se presentan como el camino de álgebra de carcaj. Si los objetos forman un buen generador, se obtiene la costumbre de equivalencia entre la categoría original y la derivada de la categoría de la aljaba de repeticiones. El simple repeticiones correspondientes a los nodos de la aljaba son llamadas "fracciones de branes" en la física de la literatura, y las flechas en el carcaj corresponden a la masa de la cadena de los estados en la física (como se les da por Ext^1s b/w el simple reps.)