Extendiendo funciones continuas y uniformemente continuas

Question

¿Qué opinas de la siguiente declaración:

1. Deje $f\colon(a,b)\rightarrow \mathbb{R}$ ser un uniforme de función continua. A continuación, $f$ puede ser extendida a una uniformemente continua de la función con dominio de $[a,b]$.

2. Deje $f\colon(a,b)\rightarrow \mathbb{R}$ ser una función continua. A continuación, $f$ se puede extender a una función continua con dominio de $[a,b]$.

Entonces, yo creo que 2) es verdadera, será como agregar los puntos de $a,b$ a un dominio que utiliza la definición de límite, pero no estoy seguro. Y 1) es verdadera, también. Pero no sé una buena explicación.

Answer 1

Si $x_n$ es una secuencia de Cauchy, luego uniforme de la continuidad de la $f$ nos permite concluir que la secuencia de $f(x_n)$ también es de Cauchy.

Las secuencias de $a_n=a+\frac{1}{n}$ $b_n =b-\frac{1}{n}$ son de Cauchy, por lo tanto también lo son las secuencias de $f(a_n)$, $f(b_n)$. Desde $\mathbb{R}$ es completa, estas secuencias convergen a algunos números de $f_a, f_b$ respectivamente. Definir la función de $\overline{f}:[a,b] \to \mathbb{R}$ por $\overline{f}(a) = f_a$, $\overline{f}(b) = f_b$ y $\overline{f}(x) = f(x)$$x \in (a,b)$. Claramente $\overline{f}$ es continua en a $(a,b)$, sólo queda mostrar la continuidad en $a,b$.

Supongamos $x_n\in [a,b]$, e $x_n \to a$. Tenemos $|\overline{f}(x_n) - \overline{f}_a| \leq |\overline{f}(x_n) - \overline{f}(a_n)| + | \overline{f}(a_n) - \overline{f}_a|$. Deje $\epsilon >0$, luego por la continuidad uniforme, no existe $\delta>0$ que si $|x-y|< \delta$,$x,y \in (a,b)$,$|f(x)-f(y)| < \epsilon$. Elija $n$ lo suficientemente grande tal que $|x_n-a_n| < \delta$, e $| f(a_n) - f_a| < \epsilon$. Si $x_n = a$,$|\overline{f}(x_n) - \overline{f}_a| = 0$, por otra parte tenemos a $|\overline{f}(x_n) - \overline{f}_a| \leq |f(x_n) - f(a_n)| + | f(a_n) - f_a| < 2 \epsilon$. En consecuencia,$\overline{f}(x_n) \to \overline{f}_a$, por lo tanto $\overline{f}$ es continua en a $a$. Asimismo, para $b$.

Para el segundo caso, tome $f(x) = \frac{1}{x-a}$. A continuación, $f$ es continua en a $(a,b)$, pero el dominio no puede ser extendida a$[a,b]$, manteniendo $f$ continuo, y $\mathbb{R}$ valorados. Para probar esto, tomar la secuencia de $a_n$ arriba, a continuación,$f(a_n) = n$, y claramente $\lim_n f(a_n) = \infty$. Si $f$ podría ser ampliado continuamente a$\overline{f}$,$\overline{f}(a) \in \mathbb{R}$, lo cual es una contradicción.

Answer 2

INSINUACIÓN

1. Para el segundo, considere algo así como la función$f(x) = \dfrac{x^2}{(x+1)(x-1)}$ como una función$f:(-1,1) \to \mathbb{R}$
2. Para el primero, podría funcionar. Alternativamente, demuestre que si$f$ es uniformemente continuo y$x_n$ es una secuencia de Cauchy en el dominio de$f$, entonces$f(x_n)$ también es una secuencia de Cauchy. A continuación, elija una secuencia de Cauchy en el dominio de$f$ que va a$a$, por ejemplo.