función holomorfa en el plano complejo

Question

Dejar $f(z) \in Hol(\mathbb{C})$ función holomórfica tal que para cada $z_0 \in \mathbb{C}$ existe $N(z_0)$ tal que $f^{(N(z_0))}(z_0) = 0$
Demuestra: que f es un polinomio

Answer 1

Modificando el argumento de Davide pero evitando el teorema de la categoría de Baire: Sea $\overline{\mathbb E}$ sea la bola unitaria cerrada y $$F_n := \{ z \in \overline{\mathbb E} : f^{(n)}(z) = 0 \}.$$ Entonces, por supuesto, $\overline{\mathbb E} = \bigcup_n F_n$ . Desde $\overline{\mathbb E}$ es incontable, no todos $F_n$ puede ser finito. Sea $n \in \mathbb N$ s.t. $F_n$ es infinito. Como $\overline{\mathbb E}$ es compacto, $F_n$ tiene un punto límite en $\overline{\mathbb E}$ es decir, hay un $z_0 \in \overline{\mathbb E}$ y una secuencia $(z_k)$ en $F_n \setminus \{z_0\}$ que converge a $z_0$ . Tenemos $f^{(n)}(z_k) = 0$ para todos $k$ Por lo tanto $f^{(n)} = 0$ por el teorema de la identidad, por lo que $f$ es un polinomio.

Answer 2

Dejemos que $F_n:=\{z\in\Bbb C, f^{(n)}(z)=0\}$ . Desde $f^{(n)}$ es continua, $F_n$ es cerrado y por hipótesis, $\Bbb C=\bigcup_{n\in\Bbb N}F_n$ . Por el teorema de Baire, existe un $n_0$ tal que $F_{n_0}$ tiene un interior no vacío. Por lo tanto, $f^{(n_0)}$ desaparece en una bola, y es necesariamente la función nula. Esto demuestra que $f$ es un polinomio.

Obsérvese que existe un resultado similar para $C^{\infty}$ funciones de $\Bbb R$ a $\Bbb R$ pero es más difícil de mostrar. Se ha discutido aquí .