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función holomorfa en el plano complejo

Dejar f(z)Hol(C) función holomórfica tal que para cada z0C existe N(z0) tal que f(N(z0))(z0)=0
Demuestra: que f es un polinomio

5voto

Saif Bechan Puntos 3916

Modificando el argumento de Davide pero evitando el teorema de la categoría de Baire: Sea ¯E sea la bola unitaria cerrada y Fn:={z¯E:f(n)(z)=0}. Entonces, por supuesto, ¯E=nFn . Desde ¯E es incontable, no todos Fn puede ser finito. Sea nN s.t. Fn es infinito. Como ¯E es compacto, Fn tiene un punto límite en ¯E es decir, hay un z0¯E y una secuencia (zk) en Fn{z0} que converge a z0 . Tenemos f(n)(zk)=0 para todos k Por lo tanto f(n)=0 por el teorema de la identidad, por lo que f es un polinomio.

3voto

Davide Giraudo Puntos 95813

Dejemos que Fn:={zC,f(n)(z)=0} . Desde f(n) es continua, Fn es cerrado y por hipótesis, C=nNFn . Por el teorema de Baire, existe un n0 tal que Fn0 tiene un interior no vacío. Por lo tanto, f(n0) desaparece en una bola, y es necesariamente la función nula. Esto demuestra que f es un polinomio.

Obsérvese que existe un resultado similar para C funciones de R a R pero es más difícil de mostrar. Se ha discutido aquí .

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