Dejar f(z)∈Hol(C) función holomórfica tal que para cada z0∈C existe N(z0) tal que f(N(z0))(z0)=0
Demuestra: que f es un polinomio
Respuestas
¿Demasiados anuncios?Modificando el argumento de Davide pero evitando el teorema de la categoría de Baire: Sea ¯E sea la bola unitaria cerrada y Fn:={z∈¯E:f(n)(z)=0}. Entonces, por supuesto, ¯E=⋃nFn . Desde ¯E es incontable, no todos Fn puede ser finito. Sea n∈N s.t. Fn es infinito. Como ¯E es compacto, Fn tiene un punto límite en ¯E es decir, hay un z0∈¯E y una secuencia (zk) en Fn∖{z0} que converge a z0 . Tenemos f(n)(zk)=0 para todos k Por lo tanto f(n)=0 por el teorema de la identidad, por lo que f es un polinomio.
Dejemos que Fn:={z∈C,f(n)(z)=0} . Desde f(n) es continua, Fn es cerrado y por hipótesis, C=⋃n∈NFn . Por el teorema de Baire, existe un n0 tal que Fn0 tiene un interior no vacío. Por lo tanto, f(n0) desaparece en una bola, y es necesariamente la función nula. Esto demuestra que f es un polinomio.
Obsérvese que existe un resultado similar para C∞ funciones de R a R pero es más difícil de mostrar. Se ha discutido aquí .