Encuentre la cantidad de raíces positivas de la ecuación$x^{x+1}=(x+1)^x$

Question

<blockquote> <p>Encontrar al número de raíces positivas de la ecuación %#% $ #%</p> </blockquote> <h3>Mi trabajo hasta ahora:</h3> <p>$$x^{x+1}=(x+1)^x$ $ $$\ln x^{x+1}=\ln (x+1)^x$$ $$(x+1)\ln x=x\ln (x+1)$ $ Que $$\frac{\ln x}{x}=\frac{\ln(x+1)}{x+1}$. Respuesta de $f(t)=\frac{\ln t}{t}$ $:<a href="http://www.wolframalpha.com/input/?i=(x%2B1)%5Ex%3Dx%5E(x%2B1)" rel="nofollow noreferrer">1(one)</a></p>

Answer 1

Que $g(x)=(x+1)\ln x-x\ln(x+1)$.

Entonces, $$g'(x)=\ln\frac{x}{x+1}+\frac{2x+1}{x(x+1)},\quad g''(x)=-\frac{x^2+x+1}{x^2(x+1)^2}$ $

$g''(x)$ Es negativo, vemos que es estrictamente decreciente, que $g'(x)$ $\lim_{x\to\infty}g'(x)=0$ de que tenemos que $g'(x)$el % es positivo.

Por lo tanto, estrictamente va en aumento con $g(x)$$g(1)=-\ln 2\lt 0$ y $g(3)=\ln\frac{81}{64}\gt 0$.

Por lo tanto, el número de soluciones positivas de $g(x)=0$ es $1$.

Answer 2

A partir de su derivada, vemos que $f$ tiene un máximo en $t=e$, e $f$ tiene una raíz, en $t=1$. Para los pequeños $t$, $f(t)$ es muy negativo, mientras que para los grandes $t$, $f(t) \to 0$. Ahora observe que para solucionar $f(x)=f(x+1)$, necesitamos $x<e$, $1+x>e$ (dibujo de la gráfica es una manera fácil de ver esto). Sólo puede haber un punto: imagínese empujando una línea horizontal de un segmento de longitud $1$ a lo largo de la gráfica de $f$, y se ve que sólo hay un lugar donde se toca $f$ dos veces. Alternativamente, parcela de $f(t)$ $f(1+t)$ y observar sólo hay una intersección.