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Question

Estoy buscando una manera simple de resolver

ps

Intenté sustituir$$\int\left(\sqrt{4-x^2}+x\right) \, dx$ y luego

ps

Estoy buscando otra solución por favor

Answer 1

Otra forma de avanzar es integrar por partes con$u=\sqrt{4-x^2}$ y$v=x$. Entonces nosotros tenemos

$$ \begin{align} \int \sqrt{4-x^2}\,dx&=x\sqrt{4-x^2}+\int \frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}}\,dx\\\\ &=x\sqrt{4-x^2}+\int \frac{x^2-4+4}{\sqrt{4-x^2}}\,dx\\\\ &=x\sqrt{4-x^2}-\int \sqrt{4-x^2}\,dx+4\int \frac{1}{\sqrt{4-x^2}}\,dx\\\\ 2 \int \sqrt{4-x^2}\,dx&=x\sqrt{4-x^2}+4\int \frac{1}{\sqrt{4-x^2}}\,dx\\\\ \int \sqrt{4-x^2}\,dx&=\frac12 x\sqrt{4-x^2}+2\int \frac{1}{\sqrt{4-x^2}}\,dx\\\\ &=\frac12 x\sqrt{4-x^2}+2\int \frac{1}{\sqrt{1-(x/2)^2}}\,d(x/2)\\\\ &=\frac12 x\sqrt{4-x^2}+2\arcsin(x/2)+C \end {align} $$