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Uso de múltiples declaraciones "si y solo si"

Pido disculpas si esta pregunta es demasiado básica como para justificar un post. Me corrió en la siguiente pregunta:

Deje $f: A \to B$. Si $A$ $B$ son finitos conjuntos con el mismo número de elementos, a continuación, $f: A \to B$ es bijective si y sólo si $f$ es inyectiva si y sólo si $f$ es surjective.

El uso de dos "si y sólo si" las declaraciones que ha confundido a mí; yo no estoy exactamente seguro de lo que estoy tratando de demostrar. Entiendo que la función de los conceptos que se presentan en la pregunta, pero no estoy seguro de lo que necesita para mostrar. Por lo tanto, no me pida para sugerencias hacia la solución de la pregunta, pero sólo el significado de la pregunta.

Gracias!

8voto

DiGi Puntos 1925

La pregunta es precisamente equivalente a la siguiente pregunta:

Deje$f:A\to B$, donde$A$ y$B$ son conjuntos finitos con la misma cantidad de elementos. Demuestre que las siguientes tres declaraciones son equivalentes:

  1. $f:A\to B$ es bijective.
  2. $f:A\to B$ es injective.
  3. $f:A\to B$ es surjective.

En otras palabras, dadas las hipótesis, cada una de las tres afirmaciones implica y está implícita en cada una de las otras.

4voto

Omnivium Puntos 282

Esta frase es lo mismo que decir que las tres afirmaciones son equivalentes (después de todo, "si y sólo si" es la misma lógica de la equivalencia). Generalmente lo ven escrito como este:

Los siguientes son equivalentes (o, TFAE para abreviar): (1) $f$ es bijective, (2) $f$ es inyectiva, (3) $f$ es surjective.

Una buena manera de probar estos es circularmente; demostrar que (1) implica (2), que (2) implica (3), y que (3) implica (1). Por supuesto, usted podría reorganizar las declaraciones si ciertas implicaciones son más fáciles de demostrar que otros.

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