¿Es cada función lisa de $\mathbb{R}^n \to \mathbb R$ con soporte compacto el Laplaciano de una función?

Question

Dada una función lisa $g:\mathbb R^n \to \mathbb R $ con soporte compacto, ¿es cierto que existe una función $u$ tal que $g=\Delta u$?

Answer 1

Sí. Una solución está dada por la convolución de g con la solución fundamental (ver http://en.wikipedia.org/wiki/Newtonian_potential).

La solución de $u$ no es única, porque uno siempre puede agregar a $u$ un armónico de la función $h$ (satisfactorio $\Delta h = 0$).

Si se especifica algún tipo de límite de datos para $u$, entonces no hay una única solución. Por ejemplo, supongamos que el apoyo de $g$ está contenida en algún conjunto abierto $\Omega$ (puede que necesite algún tipo de límite regularidad en $\Omega$). Entonces existe una solución única a $u$ $\Delta u = g$satisfacción $u = 0$$\partial \Omega$. (Ahora la solución es única, por el principio del máximo.)