Demostrando que$f(x) = \frac{x^2}{1+\sin^2(1/x)},f(0)=0$ es continuo en$0$

Question

Estoy tratando de demostrar que

$$ f\left (x\right) =\begin{cases} \frac{x^{2}}{1+\sin^{2}\left(\frac{1}{x}\right)}, & x\neq0\ 0, & x=0 \end{casos} $$

es continua en 0.

Sé que debo mostrar que $$\lim_{x\rightarrow0}\frac{x^{2}}{1+\sin^{2}\left(\frac{1}{x}\right)}=0$ $

Pero no entiendo lo que es $$\lim_{x\rightarrow0}\sin^{2}\left(\frac{1}{x}\right)=?$ $ cuando $x$ $0$ $\dfrac{1}{x}$ va al infinito, pero seno oscila entre $-1$ y $1$, por lo tanto no sé de qué límite sería.

¿Por favor, me podrias ayudar?

Answer 1

Sugerencia: utilice el hecho de que$\frac{1}{1+\sin^2(1/x)}$ siempre está limitado, para comprobar la continuidad.

Answer 2

Debe aplicarse aquí el teorema del apretón. Tenemos para $x\in\mathbb{R}\setminus {0}$, $-1 \le \sin\left(\frac{1}{x}\right) \le 1$. Así que tenemos que $0 \le \sin^2\left(\frac{1}{x}\right) \le 1$. Vamos a hacer uso de esta propiedad.

$$0 \le \lim{x\rightarrow 0} \frac{x^2}{1+\sin^2\left(\frac{1}{x}\right)} \le \lim{x\rightarrow 0} \frac{x^2}{1+0}.$$

Aplicando el límite a la derecha, tenemos que el límite total es $0$.