¿Algún grupo de Lie no abeliano tiene un subgrupo finito?

Question

Estoy interesado en lo finito de orden de los elementos (diferentes de la identidad) de los no-abelian Mentira grupo. A mí me parece que cada uno de los abelian Mentira grupo tiene al menos una (en realidad muchos) finito de elementos de pedido o, en otros términos, uno o más subgrupos finitos. Es esto cierto?

Por ejemplo, si consideramos la clásica mentira grupos de O(n), ENTONCES(n), SL(n), etc, es fácil encontrar finito de orden de los elementos teniendo en cuenta la diagonal de las matrices diagonal con elementos tomados de a $\{1,-1\}.$

Sé que existen una gran cantidad de obras en los diferentes subgrupos de la simple mentira grupos y en celosías en la mentira de los grupos, por Margulis, Harish-Chandra, etc pero yo no soy capaz de encontrar la existencia de resultados sobre finito subgrupos.

Answer 1

Cada grupo puede convertirse en un grupo de Lie al darle la topología discreta, de modo que cualquier grupo no belio que no tenga elementos no triviales de orden finito dará un contraejemplo. Si quieres que el grupo esté conectado, aún puedes encontrar contraejemplos. Por ejemplo, considere el grupo de transformaciones afines$x\mapsto ax+b$ para$a\in\mathbb{R}_+$ y$b\in\mathbb{R}$. Esto es nonabeliano y está conectado, pero es fácil ver que no tiene elementos no triviales de orden finito.

Answer 2

Todo es mucho mejor si usted, además, requieren que su Mentira grupos son compactos. Cada compacto conectado Mentira grupo de dimensión positiva tiene un trivial máxima toro que tiene muchos elementos de orden finito.

En el noncompact conectado caso de que todavía estamos muy bien si la máxima compacto subgrupo es muy interesante. Por desgracia, hay algunos conectado Mentira grupos, tales como nilpotent Mentira grupos, que han trivial máxima compacto subgrupos, y desde finito subgrupos son, en particular, compacto subgrupos, estos no tienen trivial finito subgrupos.