Una terminología a los analistas

Question

Cuando los analistas dicen "$\epsilon$ (o lo que sea símbolo griego) puede ser elegido arbitraria pequeño", lo que realmente significa simplemente que podemos tomar $\epsilon = 0$ o $\epsilon \to 0$ más tarde?

Cuando me hice esta pregunta, de inmediato empecé a dudar de mi comprensión de los límites.

Que es $\forall \epsilon>0 ,\exists \delta > 0 :|x-a|<\delta \implies |f(x) - L|<\epsilon$.

Me enseñaron que una vez hace mucho tiempo, un límite es algo que usted enfoque muy de cerca, pero no exactamente igual. Así que lo que la lógica de la regla estoy rompiendo, si llevo $\epsilon = |f(x) - L|$?

También, ¿cuál es la ventaja de la prueba de que dos cosas son iguales diciendo que están epsilon cerca el uno al otro? No es esto realmente hacen que sea más difícil de lo que necesita?

EDITAR

También he notado que en algunas otras definiciones que utiliza epsilon distancia en vez de decir que son iguales el uno al otro.

$f \in R(\alpha)$ $[a,b] \iff \forall \epsilon >0, \exists$ partición $P$ tal que $$U(f,P,\alpha) - L(f,P,\alpha) < \epsilon$$

Ahora, ¿qué hay de malo con decir

$f \in R(\alpha)$ $[a,b] \iff \exists$ partición $P$ tal que $$U(f,P,\alpha) = L(f,P,\alpha) $$

Answer 1

Más correctamente, si $f(x)$ es un valor real de la función definida en un verdadero intervalo abierto alrededor de un número real $a$ (excepto posiblemente en a$a$), entonces decimos que $\lim_{x\to a}f(x)=L$ si $$\forall\epsilon>0,\exists\delta>0:0<|x-a|<\delta\implies|f(x)-L|<\epsilon.$$

Que $\epsilon$-$\delta$ idioma significa que para cualquier positivos $\epsilon$, se puede mantener $f(x)$ dentro de una distancia $\epsilon$ $L$ simplemente asegurándose de que $x$ se queda dentro de cierta distancia $\delta>0$ $a$ (excepto, quizá, si $x=a$). La eliminación de la $\epsilon$ $\delta$ completamente, esto significa que podemos mantener las $f(x)$ "tan cerca como nos gusta" a $L$, simplemente por mantener $x$ "lo suficientemente cerca" (pero no igual) $a$.

¿Qué tan cerca está "lo suficientemente cerca"? Bueno, eso dependerá de varios factores, en general, y casi siempre en lo cerca que nos gustaría $f(x)$ a permanecer a $L$--si queremos mantener el $f(x)$ más cerca de la $L$, se puede necesitar para mantener a $x$ más cerca de la $a,$.

Tenga en cuenta que $x$ es todavía una variable en esta definición, a diferencia de $L$ (e $a$), es que no se fija, por lo que no podemos simplemente tomar $\epsilon=|f(x)-L|.$

Ahora, si hemos arreglado algunos $x_0\ne a$ y pasó a saber que $f(x_0)\ne L,$, entonces ciertamente podríamos tomar $\epsilon=|f(x_0)-L|.$ si $\lim_{x\to a}f(x)=L,$ nos gustaría saber que había algo de $\delta>0$ tal que $|f(x)-L|<\epsilon$ siempre $0<|x-a|<\delta$, es decir, podríamos mantener $f(x)$ más cerca de la $L$ $f(x_0)$ es, asegurándose de que $x$ se queda dentro de $\delta$ (pero no igual) $a$. Tenga en cuenta que un $\delta$ será necesariamente menor que $|x_0-a|,$ ya que si no, a continuación, $x_0$ $x$ que está dentro de $\delta$ (pero no igual) $a$, sin embargo,$|f(x_0)-L|=\epsilon$.

Permítanme resumir la discusión del párrafo anterior: Si hay algo de $x_0\ne a$$f(x_0)\ne L$, y sabemos que $\lim_{x\to a}f(x)=L,$, entonces podemos mantener $f(x)$ más cerca de la $L$ $f(x_0)$ es, asegurándose de que seguimos $x$ más cerca (pero no igual) $a$ $x_0$ es una cantidad suficiente.

Esperemos que sea un resumen de no sorprender o confundir, pero quiero saber si lo hace.

¿Esto ayuda a aclarar las cosas para usted?

Answer 2

Ciertamente no significan que puede tomar $\epsilon=0$. Por lo general, la declaración

$\epsilon$ puede ser elegido arbitrariamente pequeño

significa que cualquier propiedad de la declaración se refiere en verdad aplica para cualquier $\epsilon>0$. A menudo este hecho se utiliza para tomar algún límite como $\epsilon\to 0^+$ (llamado el límite por la derecha como $\epsilon$ $0$).

Answer 3

Esto es realmente más de un comentario extendido, en lugar de una respuesta.

Desde el punto de vista de la lógica pura, la frase "$\epsilon > 0$ puede ser elegido arbitrariamente pequeño" simplemente significa "para todos los $\epsilon > 0$." Eso es todo.

Entonces, ¿por qué incluir el "arbitrariamente pequeño"?.

La frase "arbitrariamente pequeño" es simplemente decirle al lector cómo debe pensar acerca de la propiedad que implican $\epsilon$. Es decir, se le dice al lector que va a ser relativamente fácil de satisfacer la propiedad con grandes valores de $\epsilon$, pero es más difícil de satisfacer con los valores más pequeños de $\epsilon$. Y, sin embargo, a pesar de esta dificultad cuando los pequeños valores de$\epsilon$, la afirmación es todavía verdad!

Ejemplo: Suponga que le digo a usted que por cada $\epsilon > 0$, existe un número real $\delta$ satisfacción $0 < \delta^3 < \epsilon$. Usted no está seguro de si creer en mí, así que intenta ejemplos:

• Si $\epsilon = 1$, entonces hay un montón de números de $\delta$ que hacer la declaración de la verdad. (por ejemplo, cada $0 < \delta < 1$ funciona)

• Si $\epsilon = 100$, entonces hay aún más los valores de $\delta$ que hacer la declaración de la verdad. (por ejemplo, cada $0 < \delta < 4$ funciona)

De hecho, si has comprobado que mi afirmación es verdadera para un determinado $\epsilon$, entonces también es cierto para todos los mayores $\epsilon' > \epsilon$. Como, si es verdadero para $\epsilon = 1$, entonces es verdadero para $\epsilon = 2.5, 17, 10000$, etc.

Pero me dijo que es verdad para todas las $\epsilon > 0$. Eso significa que tenemos que buscar en los pequeños valores de $\epsilon$, demasiado. Y en estos casos, los valores de $\delta$ que trabajo son menos abundantes.

En tal situación, me gustaría decir que mi afirmación es verdadera para todos los $\epsilon >0$, no importa cuán pequeño, para enfatizar este punto.

Nota, sin embargo, que a pesar de que mi afirmación es verdadera para todos los $\epsilon > 0$, no importa cuán pequeña sea, es decididamente falsa para $\epsilon = 0$.