Si $ab \equiv 1 \pmod{p}$ es $a \equiv b \pmod{p}$ ?

Question

Si $ab \equiv 1 \pmod{p}$ es $a \equiv b \pmod{p}$ ?

Puedo ver que $b$ es un inverso de $a$ módulo p. ¿Pero qué propiedad tiene la inversa de $a$ tiene pero $a\bar{a} \equiv 1 \pmod{p}$ ?

Gracias

Answer 1

No, $a$ es congruente con su inverso mod $p$ si $a\equiv \pm 1 \bmod p$ .

Answer 2

Consideremos un conjunto $P = \{1, 2, 3, ...., p-1\}$ ; $|P|=p-1, p > 2$ es primo. Aparte de $1$ y $p-1$ donde $$1^2 ≡ (p-1)^2 ≡ 1 \pmod p,$$ consideremos además dos enteros positivos $m$ y $n$ tales que ninguno de los dos sea múltiplo de $p$ . Por lo tanto cada uno es congruente modulo $p$ a dos de los $p-3$ miembros de $P$ .

Ahora, $mn ≡ 1 \pmod p$ implica que $mn - 1 = kp$ para algún número entero positivo $k$ . Podemos reescribirlo como $$mn - kp = 1$$ La ecuación $rx + sy = k (k, r, s, x, y ∈ ℕ)$ tiene soluciones para $x$ y $y$ $\iff \gcd(x, y)$ divide $k$ . En cuyo caso hay $\frac{k}{\gcd(x, y)}$ soluciones. Desde $\gcd(m,p) = \gcd(n, p) = 1$ (y por supuesto $1|1$ ), la ecuación anterior tiene una solución única para los enteros positivos $m$ y $n$ . Ahora los dos únicos miembros de $P$ que satisfagan $$mn ≡ 1 \pmod p ⇒ m ≡ n \pmod p$$ son $$m, n ≡ 1 \pmod p \text{ and } m, n ≡ p-1 \pmod p$$ De ello se deduce que existen $\frac{p-3}{2}$ pares de números enteros $m, n$ tal que $$mn ≡ 1 \pmod p \text{ where } m ≢ n \pmod p$$