Una forma cerrada para$1^{2}-2^{2}+3^{2}-4^{2}+ \cdots + (-1)^{n-1}n^{2}$

Question

Por favor mira esta expresión:

ps

Encontré esta expresión en un libro de matemáticas. Nos pide que busquemos una fórmula general para calcularlo con$$1^{2}-2^{2}+3^{2}-4^{2} + \cdots + (-1)^{n-1} n^{2}$.

La fórmula que el libro sugiere es esta:

ps

¿Te importaría explicarme cómo obtenemos esta fórmula?

Answer 1

Deje $S(n)=1^2+2^2+\dots+n^2$$T(n)=1^2-2^2+3^2-4^2+\dots+(-1)^{n-1}n^2$.

En primer lugar, imaginemos $n=2k$ es incluso; a continuación, $$T(n)=T(2k)= S(n)-2\bigl(2^2+4^2+\puntos+(2k)^2\bigr)= S(n)-8S(k)$$ Desde $$S(n)=\frac{1}{3}n\left(n+\frac{1}{2}\right)(n+1)=\frac{n(2n+1)(n+1)}{6}$$ Tenemos $$T(2k)=\frac{2k(4k+1)(2k+1)}{6}-8\frac{k(2k+1)(k+1)}{6}= -\frac{2k(2k+1)}{2}$$ Si $n=2k+1$ es impar, entonces $$T(n)=T(2k+1)=S(n)-8S(k)= \frac{(2k+1)(4k+3)(2k+2)}{6}-8\frac{k(2k+1)(k+1)}{6}$$ y un fácil cálculo da $$T(2k+1)=\frac{(2k+1)((2k+1)+1)}{2}$$ Así $$T(n)=(-1)^{n-1}\frac{n(n+1)}{2}$$

Answer 2

También podemos utilizar la suma geométrica $$\sum{k=1}^{n}\left(-1\right)^{k-1}x^{k}=-\frac{x\left(\left(-1\right)^{n}x^{n}-1\right)} {x +1} $$so taking the derivative and multiplicand by $x$$$ \sum{k=1}^{n}\left(-1\right) ^ kx {k-1} ^ {k} =-\frac {\left(-1\right) ^ nx {n} ^ {n+1}} {x +1} + \frac {x ^{2}\left(\left(-1\right)^{n}x^{n}-1\right)}{\left(x+1\right)^{2}}-\frac{x\left(\left(-1\right)^{n}x^{n}-1\right)} {x +1} $$ and finally taking again the derivative and setting $x = 1$ tenemos

$$\sum_{k=1}^{n}\left(-1\right)^{k-1}k^{2}=\color{red}{\frac{\left(-1\right)^{n-1}n\left(n+1\right)}{2}}$$

como quería.

Answer 3

Uno puede observar que, para todo$k\ge1$, uno tiene $$\ frac {1} {2} (- 1) ^ {k-1} k (k +1) - \ frac {1} {2} (-1) ^ {k} (k-1) k = (- 1) ^ {k-1} k ^ 2$$ then summing from $k = 1$ to $k = n$, términos telescopio y uno obtiene el resultado anunciado:

$$\ frac {1} {2} (- 1) ^ {n-1} n (n +1) = \ sum_ {k = 1} ^ n (-1) ^ {k-1} k ^ 2.$$

Answer 4

Otro enfoque es escribir para$n=2m$

$$\begin{align} \sum_{k=1}^{2m}(-1)^{k-1}k^2&=\sum_{k=1}^{m}(2k-1)^2-\sum_{k=1}^{m}(2k)^2\\\\ &=\sum_{k=1}^{m}\left((2k-1)^2+(2k)^2\right)-2\sum_{k=1}^{m}(2k)^2\\\\ &=\sum_{k=1}^{2m}k^2-8\sum_{k=1}^{m}k^2\\\\ &=\frac{2m(2m+1)(4m+1)}{6}-8\frac{m(m+1)(2m+1)}{6}\\\\ &=-m(2m+1)\\\\ &=-\frac12 n(n+1) \end {align}$$

como se esperaba para valores pares de$n$.

Si$n=2m+1$, repetimos el desarrollo anterior con la adición del término adicional$(2m+1)^2$. El resultado es que la suma es igual a$+\frac12 n(n+1)$.

Poniéndolo todo junto, obtenemos el codiciado resultado

ps

Answer 5

Una forma natural y complicada de hacer esto:

Deje$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}2$ y$\displaystyle P_n=\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1} k^2$.

Tenga en cuenta que$$S_n-P_n=2\sum_{k=1, k\text{ even}}^nk^2=\sum_{k=1}^{\lfloor \frac n2\rfloor}(2k)^2=8\sum_{k=1}^{\lfloor \frac n2\rfloor}k^2=\frac 86 \frac{\lfloor \frac n2\rfloor(\lfloor \frac n2\rfloor+1)(2\lfloor \frac n2\rfloor+1)}2

Tenga en cuenta que$2\lfloor \frac n2\rfloor = n$ if$n$ es par y$n-1$ si$n$ es impar.

Reescribir$$S_n-P_n=\frac{n(n+2)(2n+2)}6 \text{ for even n}

ps

y obtendrás tu fórmula para$$S_n-P_n=\frac{2(n-1)n(n+1)}6 \text{ for odd n}$