Punta de un paquete de ondas que se separa: multicelular más allá de todas las órdenes de una silla de montar punto de expansión

Question

Esta es una cuestión técnica que viene de cartografía de un problema no relacionado a la dinámica de un no-relativista masiva de partículas en 1+1 dimensiones. Este problema es con asymptotics dominado por un plazo, más allá de todos los pedidos de un punto de silla de expansión (singular términos de un asintótica de la serie), como en el problema de la vida útil de un estado limitado en 1+0 negativo de acoplamiento $\phi^4$ juguete modelo.

Considere una partícula con una inicial (normalizada) de la función de onda $$\psi_0(x) = e^{-(x+e^{-x})/2}$$ Esta forma específica se define una unidad natural para $x$, tenga en cuenta la doble exponencial asymptotics de $\psi_0(x)$$ x \to -\infty$.

Tiempo de evolución bajo el Hamiltoniano $\mathcal{H}=-\frac{1}{2}\partial_x^2 $ transforma la función de onda para (utilizando el libro de texto propagador)

$$\psi(x,t) = (2 \pi i t)^{-1/2} \int e^{i (x-x')^2/(2t)} \psi_0(x') d x'$$

Mi pregunta es acerca de la asymptotics de esta integral, especialmente de los líderes frente a la propagación de la izquierda. Aquí es donde he golpeado la pared:

El punto de silla de expansión en $t^{-1}$ da $$t |\psi(x,t)|^2 \sim e^{-e^{-x}} \left [1 + (e^{3x} -2 e^{2x}) \, t^{-1} /8 + O(t^{-2}) \right ] $$ que converge muy bien (comprobado numéricamente) por $x \gtrsim 1$, pero no logra capturar los términos de la orden de $e^{x/t}$ que dominan sobre el doble exponencial en negtavie $x$.

Para $t \to +\infty$ la convierte en una solución simétrica, $$|\psi(x,t \to \infty)|^2=\frac{1}{t \cosh (\pi x/t)}$$

Todas las ideas/sugerencias se agradece.

EDIT: El resultado ha sido utilizado en una publicación: Phys. Apo. Lett. 109, 216801 (2012); el acceso abierto de la versión, consulte Eq. (9).

Answer 1

Después de un poco de lucha y una sugerencia útil formar un colega, el problema finalmente roto:

1. Va a impulso espacio da $$\psi_{0k} = \int \psi_0(x) e^{i k x} dx= 2^{-ik+1/2} \Gamma(-ik+1/2)$$

2. La aplicación de tiempo de evolución con $\mathcal{H}=k^2/2$ da $$\psi(x,t) = \frac{1}{2\pi} \int e^{-i k^2 t/2-i k x} \psi_{0k} dk$$

3. La utilización a gran$z$ asintótica de expansión para $\Gamma(z+1)$ y la identificación de una fase estacionaria punto cerca de $k \approx -x/t$ dar la orden principal, que coincide con la asymptotics de $t \gg 1$ solución: $$\psi(x,t) \sim (2/t) e^{\pi x/t} $$

4. Finalmente, el prefactor es recuperado por el mantenimiento de todos los principales registros en la expansión de $\Gamma(z+1)$ y la solución para el punto fijo utilizando la función W de Lambert (para que Mathematica bien maneja el asymptotics), da la respuesta final $$\psi(x,t) = (2/t) e^{\pi x/t} (-2 x/t)^{\pi/t} + O(t^{1+\epsilon})$$ con $\epsilon>0$, válido para $x \ll -t$ $t$ grandes y pequeños.

Gracias a todos los que prestaron atención y ayudado con sus consejos.