Natural de la densidad de la solución quintics

Question

Una reciente pregunta le preguntó acerca de la topológico de la densidad de la solución monic quintics con coeficientes racionales en el espacio de todos los monic quintics con coeficientes racionales. Robert Israel dio una buena prueba de que ambos solubles e insolubles quintics son densos en $\Bbb Q^5$. Natural (no topológicas) forma de preguntar acerca de la densidad relativa de solucionable quintics en todos los quintics es para preguntar acerca de sus naturales de la densidad, de la siguiente manera:

Escribir nuestra quintics como $x^5+a_0x^4 + \dots + a_4$,$a_i \in \Bbb Z$. Escribir $$f(N) := \frac{\text{# of solvable quintics with } |a_i| < N}{(2N+1)^5}.$$ Robert Israel's answer to the linked question gives some data that supports our intuition that yes, the solvable quintics are in fact extremely rare. Do we indeed have $\lim_{N \to \infty} f(N) = 0$? Are there known nice asymptotics for $f(N)$?

Answer 1

Podemos, de hecho, dar un fuerte resultado:

Deje $P_N$ denota el conjunto de monic polinomios de grado $n > 0$ $\mathbb{Z}[x]$ cuyos coeficientes todos tienen valor absoluto $< N$. S. D. Cohen dio en La distribución de los grupos de Galois de integrales de polinomios (Illinois J. de Matemáticas., 23 (1979), pp 135-152) asintótica de los límites para la relación en el límite anterior, y la reformulación de su declaración con algunos trivial álgebra da (al menos asintóticamente) que $$\frac{\#\{p \in P_N : \text{Gal}(p) \not\cong S_n\}}{N^n} \ll \frac{\log N}{\sqrt{N}};$$ tenga en cuenta que el límite de la relación en el lado derecho se $N \to \infty$$0$. Esto implica, a fortiori, para $n = 5$ que $$\lim_{N \to \infty} \frac{\#\{p \in P_N : \text{Gal}(p) \text{ is solvable}\}}{N^n} = 0,$$ ya que para quintic polinomios $p$, $\text{Gal}(p)$ es irresoluble iff $\text{Gal}(p) \cong A_5$ o $\text{Gal}(p) \cong S_5$.

Algunos resultados similares se produjeron un par de décadas anteriores: B. L. van der Waerden mostró en Morir Seltenheit der Gleichungen mit Affekt, (Mathematische Annalen 109:1 (1934), pp 13-16) que la relación tiene límite cero (al menos cuando se permite nonmonic polinomios y ajusta el denominador en consecuencia, que es probablemente secundario).

Para más información, vea este mathoverflow.net pregunta y esta vieja de la lesión.pregunta de matemática. Estrechamente relacionados con las preguntas de matemáticas.se incluyen Es el grupo de Galois asociado a un azar del polinomio solucionable con una probabilidad de 0? y (mi) ¿con qué frecuencia se Galois grupos de igual a $S_n$? .

(Esta respuesta es más o menos un duplicado de mi respuesta a la pregunta vinculada en el OP pregunta.)