¿Satisface $X=[0,\omega_1]$ $S_1(\Omega,\Omega)$?

Question

Definición: Una $\omega$-cubierta de un espacio topológico $X$, es una cubierta abierta $\mathcal U$, tal que para cualquier conjunto % finito $C \subset X$, existe un conjunto abierto $U \in \mathcal U$, tal que, $C \subset U$.

Que $X=[0,\omega_1]$, donde $\omega_1$ es el primer ordinal incontable.

Que $\langle \mathcal{U}_n: n \in \mathbb{N} \rangle$ ser una secuencia de abierta $\omega$-tapas de $X$. ¿Siempre podemos encontrar una secuencia $\langle F_n: n \in \mathbb{N} \rangle$ con cada $F_n \in \mathcal{U}_n$ tal que $\cup F_n$ es una cubierta $\omega$ $X$?

¿Alguna ideas o direcciones?

¡Gracias!

Answer 1

$X = [0,\omega_1]$ satisface $\mathsf{S}_1 ( \Omega , \Omega )$. Para esto se aplicará la siguiente:

Theoerem (M. Sakai, 1988). Un espacio completamente regular $X$ satisface $\mathsf{S}_1 ( \Omega , \Omega )$ fib $X^n$ satisface $\mathsf{S}_1 ( \mathcal{O} , \mathcal{O} )$ todos los $n \geq 1$

donde un espacio topológico $Y$ satisface $\mathsf{S}_1 ( \mathcal{O} , \mathcal{O} )$ fib para cualquier sequenec $\langle \mathcal{U}_n \rangle_{n \in \omega}$ de abra las cubiertas de $Y$ hay una secuencia $\langle U_n \rangle_{n \in \omega}$ tal que

1. $U_n \in \mathcal{U}_n$ todos los $n$; y
2. $\bigcup_{n \in \omega} U_n = Y$.

Yo también voy a aplicar el siguiente hecho (demostrado fácilmente):

Hecho. Revisión de una base de $\mathcal{B}$ para un espacio topológico $Y$. A continuación, $Y$ satisface $\mathsf{S}_1 ( \mathcal{O} , \mathcal{O} )$ fib cumple con el requisito de propiedad para todas las secuencias de abrir las cubiertas por la pone en $\mathcal{B}$.

Así que voy a mostrar que $[0,\omega_1]^n$ satisface $\mathsf{S}_1 ( \mathcal{O} , \mathcal{O} )$ todos los $n < \omega$. De hecho, voy a probar algo un poco más fuerte:

La proposición. Fix $n \geq 1$, y deje $\langle \mathcal{U}_n \rangle_{n \in \omega}$ ser una secuencia de abra las cubiertas de $[0,\omega_1]^n$ "estándar" open básica de conjuntos. A continuación, hay un $N < \omega$ tal manera que uno puede elegir $U_0 \in \mathcal{U}_0$, $\ldots$, $U_{N-1} \in \mathcal{U}_{N-1}$ con $[0,\omega_1]^n = U_0 \cup \cdots \cup U_{N-1}$.

(Por "norma básica" abrir los subconjuntos de a $[0,\omega_1]^n$ me refiero a productos de abrir intervalos.)

Prueba de dibujo. Voy a manejar sólo los casos $n=1$ $n=2$ en cualquier detalle.

• Deje $\langle \mathcal{U}_n \rangle_{n \in \omega}$ ser una secuencia de las tapas de las $[0,\omega_1]$ por la apertura de los intervalos. Establecimiento $\alpha_0 = \omega_1$ procedemos de la siguiente manera:

  • Si $\alpha_n$ está definido, pick $U_n \in \mathcal{U}_n$ contiene $\alpha_n$.
  • Si $U_0 \cup \cdots \cup U_n \neq [0,\omega_1]$ $\alpha_{n+1}$ menos que $( \alpha , \omega_1] \subseteq U_0 \cup \cdots \cup U_n \neq [0,\omega_1]$ (de lo contrario, deje $\alpha_n$ indefinido).

  Se sigue trivialmente que $\alpha_0 > \alpha_1 > \cdots$, y así, después de un número finito de pasos no puede ser definido. Pero esto significa que $U_0 \cup \cdots \cup U_{N-1} = [0,\omega_1]$ algunos $N < \omega$.

• Deje $\langle \mathcal{U}_n \rangle_{n \in \omega}$ ser una secuencia de las tapas de las $[0,\omega_1]^2$ por la apertura de los intervalos. Establecimiento $\alpha_0 = \omega_1$ procedemos de la siguiente manera:

  • Conjunto $\alpha_0 = \omega_1$, $N_{-1} = 0$
  • Si $\alpha_k$ está definido, tenga en cuenta que como $[0,\omega_1] \times \{ \alpha_k \}$ es homeomórficos a $[0,\omega_1]$, y las proyecciones de series en cada una de las $\mathcal{U}_n$ están abiertas, por lo anterior no es un $N_k > N_{k-1}$ tal que para $N_{k-1} \leq i < N_k$ uno puede recoger $U_i \in \mathcal{U}_i$ tal que $[0,\omega_1] \times \{ \alpha_k \} \subseteq U_{N_{k-1}} \cup \cdots \cup U_{N_{k}-1}$.
  • Para cada una de las $N_{k-1} \leq i < N_k$ hay un mínimo de $\beta_i < \alpha_k$ tal que $(\beta_i , \alpha_k] \subseteq \mathrm{proj}_2 (U_i)$ (si $[0,\alpha_k] \subseteq \mathrm{proj}_2 (U_i)$, deje $\beta_i$ indefinido). Deje $\alpha_{k+1}$ ser la máxima de la definió $\beta_i$ (si no $\beta_i$ está definido, deje $\alpha_{k+1}$ indefinido).

  Como $\alpha_0 > \alpha_1 > \cdots$ se sigue que, después de un número finito de pasos $\alpha_{k+1}$ no puede ser definido, y es relativamente fácil demostrar que $[0,\omega_1]^2 \subseteq U_0 \cup \cdots U_{N_k-1}$.

• (El general inductivo paso sigue el caso de $n=2$ más de cerca.) $\quad\Box$.

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Referencia

Masami Sakai, Propiedad $\text{C}^{\prime\prime}$ y la función de los espacios, Proc. Amer. De matemáticas. Soc. vol.104 (1988), no.3, pp 917–919, MR0964873, enlace